Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Multiplicadores de Lagrange

Calcule o valor máximo e o valor mínimo da função

f x , y , z = x y z 3

Restrita a porção do plano

U = x , y , z ∈ R 3 x + y + z = 18 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0

Usando obrigatoriamente o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 1

Primeiramente, podemos notar que o valor mínimo é 0 , olha só:

f x , y , z = x y z 3

E:

x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0

Logo:

f x , y , z ≥ 0

E isso pode acontecer se uma ou duas das coordenadas x , y e z for igual a 0 . Não podem ser as três porque senão seria impossível termos x + y + z = 18 .

Então a partir de agora, vamos considerar x ≠ 0 ,   y ≠ 0 ,   z ≠ 0 , beleza?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já foi meio caminho andado! Então só falta achar o valor máximo, e é agora que vamos usar Lagrange. Primeiro vamos definir:

g x , y , z = x + y + z

Assim vamos ter a restrição g x , y , z = 18 = 9.2 = 3 2 e:

∇ g x , y , z = ( 1,1 , 1 )

Também precisamos do gradiente da f né?

f x , y , z = x y z 3

⇒ ∇ f x , y , z = 1 3 x y z - 2 3 y z ,   1 3 x y z - 2 3 x z ,   1 3 x y z - 2 3 x y

Então, pelo método dos multiplicadores de Lagrange, vamos ter o sistema:

1 3 x y z - 2 3 y z ,   1 3 x y z - 2 3 x z ,   1 3 x y z - 2 3 x y = λ 1,1 , 1 x + y + z = 3 2

Ou seja, o nosso sistema vai ser:

1 3 x y z - 2 3 y z = λ 1 3 x y z - 2 3 x z = λ 1 3 x y z - 2 3 x y = λ x + y + z = 3 2

Passo 3

Multiplicando a primeira equação por x , a segunda por y e a terceira por z vamos ter:

1 3 x y z - 2 3 x y z = λ x 1 3 x y z - 2 3 x y z = λ y 1 3 x y z - 2 3 x y z = λ z x + y + z = 3 2

Portanto:

λ x = λ y = λ z

Como x ≠ 0 ,   y ≠ 0 ,   z ≠ 0 vamos ter:

x = y = z

Então, pela última equação do sistema:

x + x + x = 3 2

3 x = 3 2

⇒ x = y = z = 2

Só achamos um ponto candidato a máximo de f em U , então esse é o ponto de máximo: 2 , 2 , 2 .

E f 2 , 2 , 2 = 2 3 3 = 2

Logo, o valor máximo de f na porção de plano U é 2 .

Resposta

Mínimo: 0

Máximo: 2

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