Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Multiplicadores de Lagrange

Deseja-se construir uma caixa retangular de 24   c m 3 de volume. O custo do material a ser utilizado é de R $   8,00 por c m 2 para a tampa e para o fundo, R $   3,00 por c m 2 para um par de lados opostos e R $   2,00 por c m 2 para o outro par de lados opostos. Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo.

Passo 1

Temos que modelar o problema numa linguagem matemática.

Digamos que as dimensões da caixa são x ,   y e z . Então o volume da caixa é V = x y z = 24   c m 3 .

Vamos fazer um desenho dessa caixa pra gente visualizar melhor, show?

Beleza, vamos continuar! :)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos analisar o custo de construção da caixa.

Ele depende das dimensões x , y e z da caixa, então vamos chamá-lo de C ( x , y , z ) .

Esse custo total é a soma dos custos de cada lado da caixa, né? E cada par de lados tem seu preço de construção, e suas dimensões. Então vamos achar o custo de cada par de lados!

Tendo a figura aí de cima em mente, dá uma olhada nessa tabela:

Excelente! Então o custo total C é a soma do custo de construção dos 6 lados:

C x , y , z = 16 x y + 6 x z + 4 y z

Passo 3

Recapitulando, queremos o mínimo de C x , y , z = 16 x y + 6 x z + 4 y z com a restrição x y z = 24 . Isso não só tá pedindo, como tá implorando pra gente usar Lagrange! :D

Vamos criar a função F x , y , z = x y z - 24 assim temos

x y z = 24   ⇔   F x , y , z = 0

Então agora é só calcular os gradientes de C e F , o que vai ser tranquilo pra craques de derivação parcial como nós:

∇ C x , y , z = 16 y + 6 z ,   16 x + 4 z ,   6 x + 4 y

e

∇ F x , y , z = ( y z ,   x z ,   x y )

Passo 4

Show! Pelo método dos multiplicadores de Lagrange, temos

∇ C ( x , y ) = λ ∇ F ( x , y )

Acrescentando a condição F x , y , z = 0 , obtemos o sistema

16 y + 6 z = λ y z 16 x + 4 z = λ x z 6 x + 4 y = λ x y x y z - 24 = 0

Multiplicando a 1ª equação por x , a 2ª por y e a 3ª por z , obtemos:

16 x y + 6 x z = λ x y z 16 x y + 4 y z = λ x y z 6 x z + 4 y z = λ x y z x y z - 24 = 0

Logo:

16 x y + 6 x z = 16 x y + 4 y z = 6 x z + 4 y z

Passo 5

Vamos separar essa equação em duas:

16 x y + 6 x z = 16 x y + 4 y z ⇒ 6 x z = 4 y z 1 16 x y + 4 y z = 6 x z + 4 y z ⇒ 16 x y = 6 x z 2

Não podemos ter dimensões negativas e o volume não é nulo então x > 0 , y > 0 e z > 0 . Considerando isso, pelas equação ( 1 ) temos:

6 x = 4 y   ⇒ y = 3 2 x

E a equação ( 2 ) nos dá:

16 y = 6 z   ⇒     z = 16 6 y = 16.3 6.2 x = 4 x

Passo 6

Ótimo! Então usando a restrição x y z - 24 = 0 obtemos

x ∙ 3 2 x ∙ 4 x = 24

⇒ 6 x 3 = 24

⇒   x 3 = 4

⇒   x = 4 3

Então para y e z temos:

y = 3 2 4 3

z = 4 4 3

Só achamos uma solução: x , y , z = 4 3 , 3 2 4 3 ,   4 4 3 . Então esse é o ponto que minimiza o custo de construção da caixa.

Resposta

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