Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Cálculo 2 USP, P3 2010, questão 3 (modificada)

Determine os pontos de máximo e mínimo de

f x , y , z = x 2 + z 2 - x z + 3 y

em

R = x , y , z R 3 x 2 + y 2 + z 2 25

Passo 1

Não podemos aplicar direto Lagrange, pois temos uma restrição com “ ”, e não “ = ”. Então vamos começar achando os pontos críticos da função.

O gradiente de f é:

f x , y , z = 2 x - z ,   3 ,   2 z - x

Igualando a zero:

2 x - z ,   3 ,   2 z - x = 0 ,   0 ,   0

Opa, peraí! f y x , y , z = 3 0 , então essa equação nunca vale! Portanto, f não tem nenhum ponto crítico, o que significa que os pontos de máximo e mínimo que procuramos estão na fronteira da região.

Aí sim podemos usar os multiplicadores de Lagrange.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A fronteira da região é definida por:

x 2 + y 2 + z 2 = 25

Jogando tudo pra esquerda:

x 2 + y 2 + z 2 - 25 = 0

Chamamos isso de g x , y , z :

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 25

Calculamos o seu gradiente:

g x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

Passo 3

Perfeito, agora, só precisamos dizer que os gradientes são paralelos! Isso significa que:

2 x - z , 3,2 z - x = λ 2 x , 2 y , 2 z

Igualando cada coordenada e acrescentado a equação da restrição, teremos:

2 x - z = λ . 2 x 3 = λ . 2 y 2 z - x = λ . 2 z x 2 + y 2 + z 2 = 25  

Passo 4

Agora, só precisamos manejar as 3 primeiras equações e descobrir os valores das variáveis usando a última (restrição). Como a primeira e a terceira são bem parecidas (uma é exatamente a outra, trocando x e z de lugar!), vamos tentar algo com elas? Se subtraírmos a terceira da primeira, temos:

2 x - z - 2 z + x = λ . 2 x - λ . 2 z

Colocando x - z em evidência, temos:

3 x - z = 2 λ x - z

Lindo, não? Para resolver esses sistemas, só com talento e fé, amigo(a) XD

Passo 5

Agora, muita atenção: Não podemos simplesmente cortar esse x - z ! Como ele é coeficiente em ambos os lados, se, por exemplo, x = z , então x - z = 0 , e nesse caso, teríamos uma solução para a equação!

Agora que já vimos que x = z é uma das soluções da equação, cortemos essa porcaria XD Então, a equação ficaria assim:

3 = 2 λ

λ = 3 2

Pronto, temos aí a outra solução para a equação!

Passo 6

Show, agora, coloquemos, como primeiro caso, o valor de λ = 3 2 na segunda equação, para descobrir o valor de y ?

3 = 2 . λ y

3 = 2 . 3 2   y

y = 1

Passo 7

Pronto! Agora que temos o valor de uma variável, precisamos apenas do valor de mais uma, e então poderemos colocar na equação da restrição! Se colocarmos o λ = 3 2 na primeira equação, teremos:

2 x - z = λ . 2 x

2 x - z = 3 2 . 2 x

x = - z

Perfeito! Agora temos a relação entre x e z para esse valor de λ ! Perceba, teríamos encontrado a mesma relação colocando na terceira equação!

Passo 8

Agora estamos prontos para substituir valores na equação da restrição? Lembrando, chegamos até aqui partindo da premissa de que λ = 3 2 , e, com isso, descobrimos que y = 1 e x = - z fazem parte da nossa solução! Colocando tudo isso na restrição, temos:

x 2 + y 2 + z 2 = 25

- z 2 + 1 2 + z 2 = 25

Desenvolvendo...

z 2 + 1 + z 2 = 25

z = ± 12

E então, temos dois pontos, um para quando z = 12 , P 1 = - 12 ,   1 ,   12 , e outro para quando z = - 12 ,   P 2 = 12 ,   1 , -   12 .

Passo 9

Acabou? Claro que não! Seria bom de mais pra ser verdade XD

Lembra como tudo isso começou? Partimos dizendo que λ = 3 2 era solução da nossa equação x - z = λ x - z ! Agora, precisamos colocar x = z como solução! Vou colocar de novo aqui aquelas equações do sistema que caímos fazendo Lagrange, para não precisarmos ficar voltando lá em cima:

2 x - z = λ . 2 x 3 = λ . 2 y 2 z - x = λ . 2 z x 2 + y 2 + z 2 = 25

Se tomarmos x = z , teremos, pela primeira equação:

2 . z - z = λ . 2 z

z = λ . 2 z

E, dessa equação, temos que λ = 1 2 , ou que, simplesmente z = 0 !

Passo 10

Para acabar logo com a brincadeira (ou parte dela), vamos analisar esse z = 0 ? Se temos z = 0 , temos x = 0 , pois encontramos esse resultado fazendo x = z . Colocando x = z = 0 na equação da restrição, teremos:

x 2 + y 2 + z 2 = 25

0 2 + y 2 + 0 2 = 25

y = ± 5

E concluímos com mais dois pontos! Se y = 5 , temos P 3 = 0 , 5,0 . Se y = - 5 , P 4 = 0 , - 5,0 !

Passo 11

Prossigamos, ainda temos λ = 1 2 ! Colocando esse valor de λ na segunda equação, teremos:

3 = 2 . 1 2 y

y = 3

E, colocando esse valor na equação da restrição, lembrando que x = z , teremos:

x 2 + y 2 + z 2 = 25

x 2 + 3 2 + x 2 = 25

2 x 2 = 16

x = ± 8

E nossos outros dois pontos são P 5 = 8 ,   3 ,   8 e P 6 = - 8 ,   3 ,   - 8

Passo 12

Ufa! Agora sim! Acho que encontramos todos os pontos, né? Agora, só precisamos ver os valores que a função assume em cada um deles.

Lembrando que a função é:

f x , y , z = x 2 + z 2 - x z + 3 y

Para P 1 = - 12 ,   1 ,   12 , temos:

f - 12 ,   1 ,   12 = - 12 2 + 12 2 - - 12 12 + 3.1 = 39

Para P 2 = 12 ,   1 , -   12 , temos:

f 12 ,   1 , -   12 = 12 2 + - 12 2 - 12 - 12 + 3.1 = 39

Para P 3 = 0 , 5,0 , temos:

f 0,5 , 0 = 0 2 + 0 2 - 0.0 + 3.5 = 15

Para P 4 = 0 , - 5,0 , temos:

f 0 , - 5,0 = 0 2 + 0 2 - 0.0 + 3 . - 5 = - 15

Para P 5 = 8 ,   3 ,   8 , temos:

f 8 ,   3 ,   8 = 8 2 + 8 2 - 8 8 + 3.3 = 17

Para P 6 = - 8 ,   3 ,   - 8 , temos:

f - 8 ,   3 ,   - 8 = - 8 2 + - 8 2 - - 8 - 8 + 3.3 = 17

Temos, então, que P 1 = - 12 ,   1 ,   12 e P 2 = 12 ,   1 ,   - 12 são pontos de máximo, enquanto P 4 = 0 , - 5,0 é ponto de mínimo!

Resposta

P 1 = - 12 ,   1 ,   12 e P 2 = 12 ,   1 ,   - 12 são pontos de máximo, enquanto P 4 = 0 , - 5,0 é ponto de mínimo.

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