Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

UFPE, Cálculo 2, EE2, 2016.1, questão 2

Determine os valores máximos e mínimos absolutos da função f no conjunto D

f x , y = 2 x 3 + y 4 ,   D = x , y x 2 + y 2 ≤ 1

Passo 1

Vamos encontrar os pontos críticos:

f x = 6 x 2 = 0

f y = 4 y 3 = 0

∇ f x , y = 6 x 2 , 4 y 3

Então temos o ponto P 1 = 0,0

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Passo 2

Agora, iremos utilizar os multiplicadores de Lagrange para encontrar os candidatos a valores extremos.Vamos ter:

g x , y = x 2 + y 2 - 1 = 0

∇ g x , y = 2 x , 2 y

Vamos ter:

∇ f x , y = λ g x , y

6 x 2 , 4 y 3 = λ 2 x , 2 y

Passo 3

Então, vamos ter o sistema de equações:

6 x 2 = λ 2 x 1 4 y 3 = λ 2 y 2 x 2 + y 2 = 1 3

Passo 4

Da equação 1 , temos:

6 x - λ 2 x = 0

x 6 x - 2 λ = 0

Temos duas possibilidades:

  • Caso 1
  • x = 0

    Da equação 3 :

    y = ± 1

    Logo, temos os pontos P 2 = 0,1 ; P 3 = 0 , - 1

  • Caso 2

λ = 3 x

Da equação 2 , temos:

4 y 3 = 6 y x

y 4 y 2 - 6 x = 0

Então temos as possibilidades

y = 0 ,   y = ± 6 x 2

Caso 2.1:

Se y = 0 , da equação 3 :

x 2 = 1

Temos os pontos:

P 4 = 1,0 ; P 5 = - 1,0

Caso 2.2:

Se y = ± 6 x 2 , da equação 3 :

x 2 + 6 x 4 = 1

Então:

x = 1 2 ; x = - 2

O valor x = - 2 não é possível devido y = ± 6 x 2 . Logo, temos os pontos:

P 6 = 1 2 , 3 2 ; P 7 = 1 2 ,   - 3 2

Passo 5

Agora, devemos testar os pontos e ver os valores extremos:

f P 1 = f 0,0 = 0

f P 2 = 0,1 = 1

f P 3 = 0 , - 1 = 1

f P 4 = 1,0 = 2

f P 5 = - 1,0 = - 2

f P 6 = f 1 2 , 3 2 = 1 4 + 9 16 = 13 16

f P 7 = f 1 2 , - 3 2 = 1 4 + 9 16 = 13 16

Logo, a função tem valores de mínimo absoluto - 2 e de máximo absoluto 2 em - 1,0   e 1,0 , respectivamente.

Resposta

A função tem valores de mínimo absoluto - 2 e de máximo absoluto 2 em - 1,0   e 1,0 , respectivamente.

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