Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Plano Tangente e Reta Normal, Multiplicadores de LaGrange

Determine a equação do plano tangente à superfície x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1 , com x , y e z maiores do que 0 , que forma um tetraedro mínimo com os planos coordenados.

Dica: O volume do tetraedro formado pelos planos coordenados e pelo plano a x + b y + c z = d no primeiro octante é dado por V = d 3 6 a b c .

Passo 1

Vamos organizar nossa linha de pensamento, porque, honestamente, é bem fácil se perder nesse enunciado... O principais pontos são:

  • Temos uma superfície x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1 ,
  • que tem um plano tangente num ponto x 0 , y 0 , z 0 , de equação a x + b y + c z = d .
  • Além disso, esse plano tangente forma um tetraedro de volume V = d 3 6 a b c com os planos coordenados.
  • Qual é a equação do plano tangente que forma um tetraedro de volume mínimo?

Sério, quando li isso pela primeira vez foi tipo “Sabendo que os golfinhos se reproduzem em outubro, calcule a massa da Terra”. Mas vamos ver o que podemos tirar desse enunciado XD

A jogada aqui é pensar o seguinte: Com a equação da superfície, podemos descobrir uma equação para o plano num ponto genérico x 0 , y 0 , z 0 . Com essa equação genérica para o plano, podemos encontrar um volume genérico para o tetraedro. Então, vamos minimizar a função do volume, que vai ter como restrição o conjunto de todos os pontos possíveis de tangência para o plano tangente, ou seja, a própria equação da superfície x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos botar a mão na massa! Primeiro, precisamos encontrar a equação genérica para o plano tangente. Para isso, só precisamos encontrar o vetor gradiente da superfície e dizer que o produto escalar dele pelo vetor genérico x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 é 0 . Lembrando que esse vetor é a representação de todos os vetores que partem do ponto de tangência x 0 , y 0 , z 0 para o ponto x , y , z do plano.

Fazendo as derivadas parciais, temos:

F x , y , z = x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 - 1

F x x , y , z = x 2

F y x , y , z = 2 y 9

F z x , y , z = z 8

Então, o vetor gradiente no ponto x 0 , y 0 , z 0 = x 0 2 , 2 y 0 9 , z 0 8

Passo 3

Beleza, agora chegou a hora de fazer o produto escalar:

x 0 2 , 2 y 0 9 , z 0 8 . x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

x 0 2 . x - x 0 2 2 + 2 9 y 0 . y - 2 9 y 0 2 + z 0 8 . z - z 0 2 8 = 0

Veja só, se passarmos para o lado direito os temos que tem as coordenadas x 0 , y 0 e z 0 elevadas ao quadrado...

x 0 2 . x + 2 9 y 0 . y + z 0 8 . z = x 0 2 2 + 2 9 y 0 2 + z 0 2 8

E sabemos que o ponto x 0 , y 0 , z 0 está na superfície x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1 , então, x 0 2 2 + 2 y 0 2 9 + z 0 2 8 = 2 ! Assim, nossa equação para o plano tangente é:

x 0 2 . x + 2 9 y 0 . y + z 0 8 . z = 2

Passo 4

Beleza, primeira etapa cumprida. Agora vamos ver o que esse plano tem a ver com o volume do tetraedro. Pelo o que o enunciado forneceu, se temos um plano de equação a x + b y + c z = d , então o volume do tetraedro é V = d 3 6 a b c . Agora olha bem pro plano que encontramos no passo anterior. Se igualarmos os coeficientes a , b e c desse plano do enunciado com o nosso plano, teremos que:

a = x 0 2

b = 2 9 y 0

c = z 0 8

E o valor do termo independente d será 2 !

Assim, podemos escrever o volume como sendo:

V = 2 3 6 .   x 0 2 .   2 9 y 0 .   z 0 8

V = 8 1 .   x 0 1 .   1 3 y 0 .   z 0 4

V = 96 x 0 . y 0 . z 0

Passo 5

Agora chegou a parte de minimizar essa nossa função, seguindo o nosso roteiro do Passo 1. Para isso, usaremos LaGrange, e a nossa restrição é a equação da superfície, por que ela que define os pontos x 0 , y 0 , z 0 possíveis do volume!

Assim,

∇ V x 0 , y 0 , z 0 = λ ∇ F x 0 , y 0 , z 0

Já sabemos qual é o vetor gradiente da superfície, x 0 2 , 2 y 0 9 , z 0 8 . Vamos então calcular o vetor gradiente da função do volume:

V = 96 x 0 . y 0 . z 0

V x = - 96 x 0 2 . y 0 . z 0

V y = - 96 x 0 . y 0 2 . z 0

V z = - 96 x 0 . y 0 . z 0 2

Passo 6

Agora é resolver o sistema que tem as coordenadas do vetor gradiente de V igualadas às coordenadas do vetor gradiente de F multiplicadas por λ , mais a função restrição. Fica assim:

- 96 x 0 2 . y 0 . z 0 = λ x 0 2 - 96 x 0 . y 0 2 . z 0 = λ 2 y 0 9 - 96 x 0 . y 0 . z 0 2 = λ z 0 8 x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 - 1 = 0

Feio né? Mas não iria colocar um sistema impossível da gente resolver, então vamos ver qual é a saída ;)

Bom, como o λ está aí só para ser isolado, por que na real ele não serve pra nada além de dizer que um vetor é múltiplo do outro, então vamos isolar ele nas equações:

- 96 x 0 3 . y 0 . z 0 . 2 = λ

- 96 x 0 . y 0 3 . z 0 . 9 2 = λ

- 96 x 0 . y 0 . z 0 2 . 8 = λ

Passo 7

Legal, agora temos essas três equações mais a equação da superfície. A ideia aqui vai ser arranjar uma relação entre uma das variáveis, x 0 por exemplo, e as outras duas. Assim, poderemos substituir tudo na última equação e ver o valor dessa variável.

Sem mais papo, vamos pegar a primeira e a segunda e igualar uma a outra:

- 96 x 0 3 . y 0 . z 0 . 2 = - 96 x 0 . y 0 3 . z 0 . 9 2

Corta o 96 , passa o 2 de um lado pro outro e multiplica tudo por - 1 ,

1 x 0 3 . y 0 . z 0 . 4 = 1 x 0 . y 0 3 . z 0 . 9

Eleva os dois lados a   - 1 e corta o z 0 ,

x 0 3 . y 0 4 = x 0 . y 0 3 9

Como queremos a relação das outras com o x 0 , isola o y 0 :

y 0 2 = 9 4 x 0 2

Passo 8

Agora vamos igualar a primeira e a terceira equações:

- 96 x 0 3 . y 0 . z 0 . 2 = - 96 x 0 . y 0 . z 0 2 . 8

Corta o 96 e multiplica tudo por - 1 ,

1 x 0 3 . y 0 . z 0 . 2 = 1 x 0 . y 0 . z 0 2 . 8

Eleva os dois lados a - 1 e corta do y 0 ,

x 0 3 . z 0 2 = x 0 . z 0 2 8

Isolando o z 0 , teremos:

z 0 2 = 4 x 0 2

Passo 9

Pronto! Temos tudo o que precisamos para substituir na quarta equação! Colocando z 0 2 = 4 x 0 2 e y 0 2 = 9 4 x 0 2 , teremos:

x 0 2 4 + 9 4 x 0 2 9 + 4 x 0 2 16 - 1 = 0

x 0 2 4 + x 0 2 4 + x 0 2 4 = 1

x 0 2 = 4 3

x 0 = ± 2 3

Como sabemos que estamos no primeiro octante, com todos os valores de x , y   e z positivos, ficamos com o valor positivo de x 0 , x 0 = 2 3 .

Passo 10

Finalmente! Reta final! Agora que temos o valor de x 0 , e sabemos que z 0 2 = 4 x 0 2 e y 0 2 = 9 4 x 0 2 ,

z 0 = 2 x 0 = 4 3

y 0 = 3 2 x 0 = 3 3

Colocando esses valores na equação do plano tangente,

x 0 2 . x + 2 9 y 0 . y + z 0 8 . z = 2

Teremos:

1 2 .   2 3 . x + 2 9 3 3 . y + 1 8 .   4 3 . z = 2

  1 3 . x + 2 3 3 . y + 1 2 3 . z = 2

Resposta

A equação do plano é:

1 3 . x + 2 3 3 . y + 1 2 3 . z = 2

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