Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

UFPE, Cálculo 2, EF, 2014.2, questão 3

Um fio de coprimento a deve ser dividido em 3 partes. Determine o comprimento de cada parte de modo que o produto dos comprimentos das partes seja máximo.

Passo 1

Sejam x , y , z o comprimento de cada pedaço. A função que queremos maximizar, será:

F x , y , z = x y z

Sujeita a restrição:

x + y + z = a

G x , y , z = x + y + z - a

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Utilizando os multiplicadores de Lagrange, vamos ter:

∇ F = λ ∇ G

Calculando os gradientes:

∇ F = y z , x z , x y

∇ G = 1,1 , 1

O sistema de equações vai ficar:

y z = λ

x z = λ

x y = λ

x + y + z = a

Passo 3

Da primeira equação e da segunda equação:

y z = x z

Como nenhum comprimento pode ser zero, temos que:

x = y

Utilizando a segunda equação e a terceira equação:

z = y

Então temos:

x = y = z

Utilizando a ultima equação:

3 x = a

x = y = z = a 3

Resposta

a) x = y = z = a 3

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