Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Determine o volume máximo de uma caixa retangular inscrita numa esfera de raio 2 .

Passo 1

Vamos primeiro entender o que a gente tem que fazer.

Existe uma função, Volume, que devemos achar seu máximo. Mas o volume pode crescer o quanto quisermos, basta aumentar as dimensões da caixa, não é? Neste caso, não, porque existe uma outra função, que limita o nosso volume, que é a equação da esfera de raio 2 , que é essa daqui:

x 2 + y 2 + z 2 = 4

Então, com certeza, teremos que usar os multiplicadores de Lagrange, pois temos que encontrar o ponto máximo de uma função com restrição!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar definindo qual é essa nossa função Volume:

V x , y , z = x y z

Bem simples, né? Só chamar o comprimento, largura e altura de x , y e z e multiplicar, aí temos o volume!

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o gradiente da função Volume:

∇ V x , y , z = V x , V y , V z

Suas derivadas parciais são...

V x x , y , z = y z

V y x , y , z = x z

V z x , y , z = x y

Logo, o gradiente é:

∇ V x , y , z = y z , x z , x y

Passo 4

Beleza, agora vamos encontrar o gradiente da função da esfera.

Jogando tudo para o lado esquerdo e chamando de E ( x , y , z ) :

E ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 - 4 = 0

Calculando as derivadas parciais da esfera:

E x x , y , z = 2 x

E y x , y , z = 2 y

E z x , y , z = 2 z

Assim, nosso vetor gradiente da função do elipsóide fica:

∇ E x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

Passo 5

Finalmente! Agora podemos equacionar os multiplicadores de LaGrange!

∇ V x , y , z = λ ∇ E x , y , z

y z , x z , x y = λ 2 x , 2 y , 2 z

Igualando as coordenadas e adicionando a equação da esfera:

2 x λ = y z → λ = y z 2 x

2 y λ = x z → λ = x z 2 y

2 z λ = x y →   λ = x y 2 z

x 2 + y 2 + z 2 = 4

Passo 6

Igualando os valores de λ que encontramos:

y z 2 x = x z 2 y

x 2 = y 2

E

x z 2 y = x y 2 z

z 2 = y 2

Assim

x 2 = z 2 = y 2

Passo 7

Substituindo na equação da esfera:

x 2 + x 2 + x 2 = 4

3 x 2 = 4

x 2 = 4 3

x = ± 2 3

Portanto,

x = y = z = 2 3

Positivo porque estamos falando no comprimento dos lados da caixa.

Passo 8

Agora vem a parte mais fácil! Escrever nossa função volume com os x ,   y ,   e   z que encontramos!

V x , y , z = x y z

V x , y , z = 2 3 2 3 2 3

V x , y , z = 8 3 3 ∙ 3 3 3 3 = 24 3 9.3

V x , y , z = 8 3 9

Resposta

V x , y , z = 8 3 9

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