Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

23. Encontre os extremantes da função objetivo f no conjunto admissível (conjunto que satisfaz a restrição). Encontre também, se houver, os extremantes de f em R 3 .

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 , sujeito à x 2 + y 2 4 + z 2 9 = 1 .

Passo 1

Vamos começar encontrando os extremantes de f no conjunto admissível: x 2 + y 2 4 + z 2 9 = 1 . Para isso, utilizamos os multiplicadores de Lagrange.

Vamos calcular gradiente da função:

∇ f x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos pegar a equação da curva e jogar tudo para o lado esquerdo, deixando zero no lado direito:

  x 2 + y 2 4 + z 2 9 - 1 = 0

Portanto:

g x , y , z = x 2 + y 2 4 + z 2 9 - 1

Passo 3

Calcular gradiente de g x , y , z

∇ g x , y , z = 2 x , y 2 , 2 z 9

Passo 4

Utilizar multiplicador de Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

⇒ 2 x , 2 y , 2 z = λ 2 x , y 2 , 2 z 9  

Igualando termo a termo:

2 x = λ 2 x 2 y = λ y 2 2 z = λ 2 z 9

Passo 5

Adicionar a equação da curva ao sistema encontrado acima

Equação da curva: x 2 + y 2 4 + z 2 9 = 1

Adicionando ao sistema encontrado acima:

2 x = λ 2 x 2 y = λ y 2 2 z = λ 2 z 9 x 2 + y 2 4 + z 2 9 = 1

Passo 6

Agora vamos resolver as equações. Da primeira equação, temos duas possibilidades:

2 x 1 - λ = 0

  • Caso 1:
  • x = 0

    Da segunda equação temos:

    y 2 - λ 2 = 0

    Caso 1.1

    y = 0

    Da quarta equação temos:

    z = ± 3

    Portanto, temos os pontos:

    P 0 = 0,0 , 3   ; P 1 = 0,0 , - 3

    Caso 1.2

    λ = 4

    Da terceira equação temos:

    2 z 1 - λ 9 = 0

    Temos:

    z = 0

    Da quarta equação:

    y = ± 2

    Portanto temos os pontos:

    P 2 = 0,2 , 0   ; P 3 = 0 , - 2,0

  • Caso 2:

λ = 1

Da segunda equação, temos:

2 y - λ y 2 = 0

y 2 - λ 2 = 0

Logo:

y = 0

Da terceira equação:

2 z 1 - λ 9 = 0

Logo:

z = 0

Da quarta equação:

x = ± 1

Então temos os pontos:

P 4 = 1,0 , 0   ; P 5 = - 1,0 , 0

Passo 7

Então:

f P 0 = 9

f P 1 = 9

f P 2 = 4

f P 3 = 4

f P 4 = 1

f P 5 = 1

Logo, a função f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 , sujeito à x 2 + y 2 4 + z 2 9 = 1 , tem ponto de mínimo f = 1 em ± 1,0 , 0 , e tem ponto de máximo f = 9 em 0,0 , ± 3 .

Passo 8

Vamos procurar agora extremantes em todo R 3 . Encontrando os pontos críticos, temos:

2 x , 2 y , 2 z = 0,0 , 0

Temos o ponto crítico:

x , y , z = 0,0 , 0  

Logo f 0 , 0,0 = 0 . Perceba que f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 ≥ 0

Logo, o ponto 0 , 0,0 é ponto de mínimo global.

Resposta

Mínimo de f = 1 em ± 1 , 0,0 ; Máximo de f = 9 em 0,0 , ± 3 . Sem a restrição, o único ponto crítico de f é 0 , 0,0 , que é um ponto de mínimo global.

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