Determine os pontos da elipse D = x , y ∈ R : x 2 8 + y 2 2 = 1 que fornecem o maior valor da função f x , y = x y .

Passo 1

Dê graças a Deus! Uma função de apenas duas variáveis :D é nosso dia de sorte! Beleza, aqui a dica é o seguinte: Temos uma função, que é uma elipse (como o próprio enunciado já fala), e outra, que é a x y . Queremos maximizar a nossa função x y , sendo que a restrição imposta é que os pares x , y   pertençam à elipse. Então, basta usar LaGrange!

Se não consegue ver fácil quando precisa ou não de LaGrange, pensa o seguinte: Quero maximizar uma função. Ok, que função é essa? No nosso caso, x y . Se não houvesse restrição, então o máximo dela seria , por que poderíamos aumentar indefinidamente os valores de x e y ! Então, normalmente a restrição fica na outra equação dada pelo enunciado, no caso, a elipse ;)

Sem mais papo, mãos à obra! Por LaGrange, teremos que o vetor gradiente de uma função é múltiplo da outra. Logo, chamando E x , y   a elipse, e f x , y a função que vai ser maximizada,

∇ f x , y = λ ∇ E x , y

Passo 2

Agora temos que calcular as derivadas parciais de cada uma das funções, para montar esses vetores gradientes.

Calculando as derivadas de f , temos:

f x , y = x y

f x x , y = y

f x x , y = x

E o vetor fica:

∇ f x , y = y , x

Calculando as derivadas de E , temos:

E x , y = x 2 8 + y 2 2 - 1

E x x , y = x 4

E y x , y = y

E o vetor gradiente é:

∇ E x , y = x 4 , y

Show, estamos indo bem até agora!

Passo 3

Próximo passo, montar o sistema com as componentes dos vetores gradiente e a equação da restrição elipse (elipse é um nome menos ameaçador):

y = λ .   x 4 x = λ . y x 2 8 + y 2 2 - 1 = 0

O que acabamos de fazer foi pegar cada coordenada do vetor gradiente de f e igualar à coordenada correspondente de E multiplicada por λ .

Passo 4

Se substituirmos a primeira equação na segunda, teremos:

x = λ . λ . x 4

x = λ 2 . 1 4 . x

Daí tiramos que ou λ é ± 2 , ou x = 0 . Lembre: evite cortar variáveis nesses sistemas de LaGrange! Fica mais fácil, já encontramos um x que poderia passar despercebido ;)

Passo 5

Agora pegamos esses valores e substituirmos nas equações. Se tivermos x = 0 , na primeira ou na segunda equação, encontraremos:

y = 0

E formaremos um par x , y = 0,0 . Mas atenção! Sempre temos que verificar se nosso candidato passa pela equação da restrição. Nesse caso, 0,0 não está contido na elipse, pois:

0 2 8 + 0 2 2 - 1 ≠ 0

Passo 6

Colocando agora λ = 2 , teremos, na primeira equação:

y = x 2

E colocando essa relação na restrição, teremos:

x 2 8 + x 2 4.2 - 1 = 0

x 2 = 4

x = ± 2

Passo 7

Agora vamos ver quais y conseguiremos com x = ± 2 . Colocando x = ± 2 na elipse (tanto faz por que está ao quadrado), temos:

± 2 2 8 + y 2 2 - 1 = 0

1 2 + y 2 2 = 1

y 2 = 1

y = ± 1

Beleza! Acabamos de encontrar os dois possíveis valores para y !

Passo 8

Com os valores que encontramos para x e y , podemos formar as seguintes combinações:

P 0 = - 2 , - 1

P 1 = - 2,1

P 2 = 2 , - 1

P 3 = 2,1

Colocando P 0 na equação da função f x , y = x y , temos - 2 . - 1 = 2 .

Colocando P 1 na equação da função f x , y = x y , temos - 2.1 = - 2 .

Colocando P 2 na equação da função f x , y = x y , temos 2 . - 1 = - 2 .

Colocando P 3 na equação da função f x , y = x y , temos 2.1 = 2 .

Então, os pontos que maximizam a nossa função são - 2 , - 1 e 2,1

Resposta

Os pontos que maximizam a nossa função são - 2 , - 1 e 2,1

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