Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Máximos e Mínimos, Multiplicadores de Lagrange, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente

Dada a função f x , y = x 3 - 3 x y + y 3 ,

  1. Classifique os pontos críticos de f .
  2. Determine os valores de máximo e de mínimo de f no compacto

R = x , y ∈ R 2 : x y + x + y = 0 ,   - 1 2 ≤ x ≤ 1

Passo 1

a )

Os pontos críticos de f são aqueles nos quais as primeiras derivadas vale 0 . E, para classificá-los, faremos o teste da segunda derivada. Então, vamos começar calculando essas derivadas!

Se nossa função polinomial é:

f x , y = x 3 - 3 x y + y 3

Então, suas primeiras derivadas parciais são:

f x x , y = 3 x 2 - 3 y

f y x , y = - 3 x + 3 y 2

E as segundas derivadas parciais são:

f x x x , y = 6 x

f y y x , y = 6 y

f x y x , y = f y x x , y = - 3

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Passo 2

Beleza, agora que temos as derivadas parciais, podemos igualar cada uma delas, fazendo um sistema. Se preferir, é o mesmo que dizer que ∇ f x , y = 0,0 . Fica então assim:

3 x 2 - 3 y = 0 - 3 x + 3 y 2 = 0  

Dividindo cada uma das equações por 3 e jogando o termo negativo pro outro lado, fica:

y = x 2 x = y 2  

E aí você escolhe, pegar o y da equação de cima e substituir na de baixo ou o x da de baixo no y da de cima. Como você escolheu a segunda opção (se não escolheu, volte ao início da frase e escolha de novo), vamos resolver a equação:

y = y 2 2

y = y 4

E podemos passar o y 4 pro lado esquerdo:

y - y 4 = 0

E colocar o y em evidência:

y 1 - y 3 = 0

Assim, temos duas opções que fazem a equação valer 0 , ou y = 0 , ou y = 1 !

Passo 3

Beleza, como temos essas duas opções para o y , então vamos pegar esses valores e jogar de volta no sistema pra pegar os valores de x :

y = x 2 x = y 2  

Pela equação de baixo, temos, para y = 0 ,

x = y 2

x = 0

E para y = 1 ,

x = y 2

x = 1

E, por fim, nossos pontos são, para x = 0 , temos y = 0 , logo P 0 = 0,0 , e para x = 1 temos y = 1 , e então P 1 = 1,1 . Só pra ficar bonitinho:

P 0 = 0,0 P 1 = 1,1

Passo 4

Agora que encontramos os pontos críticos, podemos classificá-los. Para isso, basta fazer o teste da segunda derivada:

H P = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

Como já calculamos as segundas derivadas no Passo 1, é só colocar no determinante.

Para P 0 = 0,0 temos

H P 0 = 6 x - 3 - 3 6 y

H P 0 = 6.0 - 3 - 3 6.0 = - 9 < 0

Beleza, o determinante para P 0 deu menor que 0 . Isso significa que ele é um ponto de sela!

Passo 5

Agora calculamos para P 1 = 1,1 temos

H P 0 = 6 x - 3 - 3 6 y

H P 0 = 6.1 - 3 - 3 6.1 = 25 > 0

Beleza, o determinante para P 0 deu maior que 0 . Como f x x 1,1 é 6.1 , que é maior que 0 , então P 1 = 1,1 é um ponto de mínimo!

Passo 6

b )

Segura aí que só falta mais um pouco!! Agora nossa missão é calcular os máximo e mínimos da mesma função, mas na região cercada por:

R = x , y ∈ R 2 : x y + x + y = 0 ,   - 1 2 ≤ x ≤ 1

Vamos resolver essa usando os multiplicadores de Lagrange? O que o método nos diz é que, se tem uma região g x , y limitando nossa função f x , y , então:

f x f y g x g y = 0

Ou seja, o vetor gradiente da nossa função é múltiplo do vetor gradiente da outra região. Nessa questão, ainda temos a restrição do x , dizendo que ele varia entre - 1 2 e 1 (mas vamos encontrar primeiro os pontos, e depois ver de o x deles corresponde a esse intervalo).

Passo 7

Como já calculamos as derivadas parciais de f no passo 1 , temos que o vetor gradiente dela é:

∇ f x , y = 3 x 2 - 3 y , 3 y 2 - 3 x

E agora precisamos calcular o vetor gradiente da função g x , y . Bom, como a função é:

g x , y = x y + x + y

Então suas derivadas parciais são:

g x x , y = y + 1

g y x , y = x + 1

E seu vetor gradiente é dado por:

∇ g x , y = y + 1 , x + 1

Passo 8

Beleza, agora que temos o vetor gradiente das duas funções, é só resolvermos o sistema:

3 x 2 - 3 y 3 y 2 - 3 x y + 1 x + 1 = 0 x y + x + y = 0

Primeiro, desenvolvendo o determinante, teremos:

x + 1 3 x 2 - 3 y - y + 1 3 y 2 - 3 x = 0

3 x 3 - 3 x y + 3 x 2 - 3 y - 3 y 3 + 3 x y - 3 y 2 + 3 x = 0

Dividindo tudo por 3 , e cortando x y com – x y ,

x 3 + x 2 - y - y 3 - y 2 + x = 0

Colocando x e o y em evidência em evidência,

x x 2 + x + 1 - y y 2 + y + 1 = 0

Como ainda não temos nada na forma de produto, o que é crucial para questões de LaGrange (pra gente definir um número pequeno de relações entre x e y de forma que a equação dê 0 ), vamos fazer algo parecido com o método de completar quadrados. Temos x como coeficiente de uma expressão, x 2 + x + 1 , e - y como coeficiente da outra, y 2 + y + 1 . O que faremos é juntar esses dois coeficientes como se fossem um só, ficando x - y . … em que é a expressão que faz esse produto ser equivalente à equação original, x 3 + x 2 - y - y 3 - y 2 + x = 0 .

Então,

x - y . … =   x 3 + x 2 - y - y 3 - y 2 + x = 0

Para essa equação valer, então a expressão dentro do dever ter algumas coisas obrigatórias. Como a expressão do meio tem x 3 e y 3 , então sabemos que deve ter x 2 e y 2 (para quando multiplicar por x e por – y , aparecerem os cubos). Como na expressão do meio tem x 2 e y 2 , então deve ter x e y (para quando multiplicar por x e – y aparecerem os quarados). E, pelo mesmo raciocínio, deve ter 1 , para quando multiplicar por x e – y aparecerem eles mesmos!

Aí você fala, “Mas Patusco, e a cacetada de coisa inútil que vai aparecer, como a gente tira?” Da mesma forma que fazemos para completar quadrados! Se somamos alguma coisa que não era pra estar ali, você subtrai ela pra deixar como era antes! E esse termo que “conserta” a equação é o x y , pois os outros termos inúteis já se cancelam, porque temos x - y , então esse sinal de menos anula alguns termos opostos. E enfim, nossa equação fica:

x - y x 2 + y 2 + x + y + x y + 1 = x 3 + x 2 - y - y 3 - y 2 + x = 0

E agora temos uma expressão com um produto, que será muito mais útil! Sei que é meio confuso, mas se não tiver ficado claro esse passo é só chamar que a gente bate um papo sobre isso :)

Passo 9

Agora, o que temos que resolver se restringe a:

x - y x 2 + y 2 + x + y + x y + 1 = 0 x y + x + y = 0

Mas observe bem, pela própria restrição podemos ver que x y + x + y = 0 , e essa expressão aparece no segundo termo do produto da primeira equação! Então na realidade nosso sistema é:

x - y x 2 + y 2 + 1 = 0 x y + x + y = 0

Bem melhor! E agora, para que a equação de cima seja igual a 0 , ou x - y = 0 , ou x 2 + y 2 + 1 = 0 . Só que essa segunda equação são dois números elevados ao quadrado, e ainda somados com um positivo... Então não, não tem como dar 0 ! Sendo assim, da primeira opção, temos que:

x - y = 0

x = y

Passo 10

Colocando essa relação da equação de baixo, teremos:

x 2 + 2 x = 0

x x + 2 = 0

x = 0   o u - 2

Mas, olha lá no enunciado, a região restringe a variável x : - 1 2 ≤ x ≤ 1 . Então, na verdade x = 0 , apenas, sem essa outra opção de valer - 2 !

Como tínhamos adotado x = y , então nosso ponto candidato é 0,0 !

Passo 11

Beleza até aqui? Qualquer coisa só falar :)

Já que tocamos no assunto de que nossa região tem uma restrição para o intervalo do x , então temos que lembrar dos pontos limites, ou seja, quando x está em seu valor máximo ou mínimo. Como a equação da restrição é x y + x + y = 0 e x varia entre - 1 2 e 1 , então temos, para x = - 1 2 ,

- 1 2 y - 1 2 + y = 0

y = 1

E o ponto candidato é - 1 2 , 1

Para x = 1 , teremos:

1 . y + 1 + y = 0

y = - 1 2

E o outro candidato é 1 , - 1 2

Passo 12

Finalmente! Reta final! Conseguimos todos os pontos candidatos, e agora é só jogar o valor deles na função e ver qual é o máximo e qual é o mínimo!

f x , y = x 3 - 3 x y + y 3

Para o ponto 0,0 ,

f 0,0 = 0 3 - 3.0 . 0 + 0 3 = 0

Para o ponto - 1 2 , 1 ,

f - 1 2 , 1 = - 1 2 3 - 3 - 1 2 . 1 + 1 3 = 19 8

Para o ponto 1 , - 1 2 ,

f - 1 2 , 1 = 1 3 - 3.1 . - 1 2 + - 1 2 3 = 19 8

E nossos pontos de máximo são f - 1 2 , 1 = f 1 , - 1 2 = 19 8 , e o ponto de mínimo é f 0,0 = 0

Resposta

Pontos de máximo são f - 1 2 , 1 = f 1 , - 1 2 = 19 8

Ponto de mínimo é f 0,0 = 0

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