(Capítulo 14.8 – Exercício 3) Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f x , y = x 2 + y 2

x y = 1

Passo 1

Faaala galera, se liga: aqui temos uma função f ( x , y ) e uma restrição, e aí queremos encontrar o máximo e mínimo da função f seguindo essa restrição, sacou?

Então, utilizando multiplicadores de Lagrange, devemos achar os valores de λ ,   x ,   y que satisfaçam a equação ∇ f = λ ∇ g e f ( x , y ) = x 2 + y 2 e g x , y = x y - 1 . Os pares ( x , y ) resultantes serão possíveis pontos de máximo ou mínimo de f ( x , y ) dada a restrição g ( x , y ) . O máximo e o mínimo serão, respectivamente, os pontos que tiverem maior e menor valor de f ( x , y ) . Então boraaa

Passo 2

Vamos lá, temos

∇ f = λ ∇ g

< f x , f y >   = λ < g x , g y >  

Substituindo as derivadas parciais:

< 2 x , 2 y >   = λ < y , x >

Temos o seguinte sistema:

I   2 x = λ y

I I   2 y = λ x

I I I   x y = 1

Em I:

y = 2 x λ

Em II:

y = λ x 2

Igualando os dois:

2 x λ = λ x 2

Teremos que x = 0 ou λ 2 = 4 , λ = ± 2 .

Se x = 0 , x y = 0 . Então essa solução não serve pra gente.

Se λ = 2 , x = y , então:

x y = x 2 = y 2 = 1

x = y = ± 1

Nesse caso teremos os pontos ( - 1 , - 1 ) e ( 1,1 ) como pontos críticos

Passo 3

Então, temos

f - 1 , - 1 = 2

f 1,1 = 2

Se λ = - 2 , x = - y , então:

x y = - y y = - y 2 = 1

O que é impossível, então não tem solução pra esse caso.

Repare que se você fizer por exemplo:

x = 100000000

y = 1 100000000

x y = 100000000 × 1 100000000 = 1

E a f ( x , y ) vai ser:

f 100000000 ,   1 100000000 = 100000000 2 + 1 100000000 2

Que vai dar um número muito grande.

Ou seja, f ( x , y ) não tem valor de máximo dentro dessa restrição, porque podemos fazê-la tão grande quanto a gente queira.

Então, os pontos que achamos são pontos de mínimo.

Resposta

Os possíveis extremos são, então, ( 1,1 ) e ( - 1 , - 1 ) . Os dois são pontos de mínimo.

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