Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Multiplicadores de Lagrange

Determine, caso existam, os valores de máximo e mínimo de f x , y , z = y 2 - x z + 6 y sobre os seguinte conjunto:

S = { x , y , z ∈ R 3 : x 2 + 4 y 2 + z 2 = 36 }

Passo 1

Bom, se temos uma questão que nos pede os pontos de máximo e mínimo, a primeira coisa a se perguntar é: Existe alguma restrição? Nesse caso, sim, é exatamente a superfície de S ! Então, vamos usar os multiplicadores de LaGrange! As equações que temos são:

i ^ j ^ k ^ f x f y f z S x S y S z = λ ∇ S x , y , z x 2 + 4 y 2 + z 2 - 36 = 0

E, como sabemos,

∇ f x , y , z = f x , f y , f z

∇ S x , y , z = S x , S y , S z

Então os passos são só esses mesmo, encontrar os vetores gradientes de f e S , e resolver o sistema que tá ali em cima :)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como para resolver o sistema temos que encontrar os vetores gradientes, vamos começar calculando-os!

Para a função f x , y , z = y 2 - x z + 6 y , temos que:

f x x , y , z = - z

f y x , y , z = 2 y + 6

f z x , y , z = - x

∇ f x , y , z = - z ,   2 y + 6 ,   - x

E para a função S x , y , z = x 2 + 4 y 2 + z 2 - 36 , temos que:

S x x , y , z = 2 x

S y x , y , z = 8 y

S z x , y , z = 2 z

∇ S x , y , z = 2 x , 8 y , 2 z

Passo 3

Tranquilo, agora é só colocar essas derivadas parciais no nossos sistema e resolvê-lo!!

i ^ j ^ k ^ - z 2 y + 6 - x 2 x 8 y 2 z = λ 2 x , 8 y , 2 z x 2 + 4 y 2 + z 2 - 36 = 0

Nosso determinante, fica, então:

i ^ j ^ k ^ - z 2 y + 6 - x 2 x 8 y 2 z = 4 y z + 12 z i ^ - 8 y z k ^ - 2 x 2 j ^ - 4 x y + 12 x k ^ + 8 x y i ^ + 2 z 2 j ^ = 0,0 , 0

E se igualarmos cada coordenada do determinante a 0 (coordenadas do vetor nulo), teremos o seguinte sistema:

4 y z + 12 z + 8 x y = 0 2 z 2 - 2 x 2 = 0 - 8 y z - 4 x y - 12 x = 0 x 2 + 4 y 2 + z 2 - 36 = 0

Passo 4

Beleza, agora para sabemos os possíveis pontos de máximo ou mínimo, é só resolver esse sistema :) Ok, não parece muito fácil... mas convenhamos, temos quadro equações e três incógnitas, não parece impossível!

Vamos começar pela mais simples? Veja que a segunda equação de baixo para cima é:

2 z 2 - 2 x 2 = 0

E passando o x pro lado direito, teremos:

z 2 = x 2

E então,

z = x

Essa parte é crucial para a questão! Veja que se temos z 2 = x 2 , x pode ser tanto + z como – z . Por exemplo, se x e z são iguais a 1 , então 1 2 = 1 2 vale. Mas se x = 1 e z = - 1 , a relação continua valendo! Então, temos essas duas opções.

Passo 5

Agora vamos pegar x = z e jogar na primeira equação:

4 y z + 12 z + 8 x y = 0

y x + 3 x + 2 x y = 0

E veja que temos x em todos os termos! Podemos então cortá-lo:

y + 3 + 2 y = 0

y = - 1

E fechamos agora um valor para y !

Passo 6

Agora podemos pegar esse valor para y , juntamente com a relação que usamos para chegar até ele x = z , e jogar na equação da restrição:

x 2 + 4 y 2 + z 2 - 36 = 0

x 2 + 4 - 1 2 + x 2 - 36 = 0

2 x 2 = 32

x 2 = 16

x = ± 4

E aí está! Veja que chegamos nesse resultado para x usando y = - 1 e a relação x = z , então, nossos pontos são:

± 4 , - 1 , ± 4

Lembrando que x e z tem sempre o mesmo sentido!

Passo 7

Agora, vamos ver quais pontos conseguiríamos para o caso de z = - x . Colocando na primeira equação, teremos:

4 y z + 12 z + 8 x y = 0

- x y - 3 x + 2 x y = 0

Cortando o x ...

- y - 3 + 2 y = 0

y = 3

E conseguimos mais um valor para o y !

Passo 8

Vamos substituir esse valor na restrição, juntamente com z = - x ?

x 2 + 4 y 2 + - x 2 - 36 = 0

2 x 2 + 4.3 2 = 36

2 x 2 = 0

x = 0

E, assim, com y = 3 e z = - x , temos o ponto 0,3 , 0 !

Mas temos que alertar para uma coisa... Perceba que, na equação da restrição, o y está ao quadrado! Assim, como o fato de z = - x não influenciou (veja que tivemos 2 x 2 , como na outra equação), se y fosse - 3 , também teríamos encontrado o mesmo resultado! Portanto, os pontos que atendem à restrição são:

0,3 , 0 0 , - 3,0  

Passo 9

Finalmente! Chegou a parte boa da questão, ver quais são os pontos de máximo e de mínimo! Para isso, só substituir os pontos que encontramos na função f . Veja só:

f x , y , z = y 2 - x z + 6 y

Para o ponto 4 , - 1,4 , teremos:

f 4 , - 1,4 = - 1 2 - 4.4 + 6 . - 1 = - 21

Para o ponto - 4 , - 1 , - 4 , teremos:

f - 4 , - 1 , - 4 = - 1 2 - ( - 4 . - 4 ) + 6 . - 1 = - 21

Para o ponto 0,3 , 0 , teremos:

f 0,3 , 0 = 3 2 - 0.0 + 6.3 = 27

Para o ponto 0 , - 3,0 , teremos:

f 0 , - 3,0 = - 3 2 - 0.0 + 6 . - 3 = - 9

E, assim, nossos pontos de mínimo são ± 4 , - 1 , ± 4 , e o ponto de máximo é 0,3 , 0

Resposta

Os pontos de mínimo são f ± 4 , - 1 , ± 4 = - 21 , e o ponto de máximo é f 0,3 , 0 = 27

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