Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Encontre os valores máximo e mínimo de

f x , y = 4 x 2 + 10 y 2

No disco

x 2 + y 2 ≤ 4

Passo 1

Calcular valor máximo e mínimo de uma função com uma restrição? Hummm, isso só pode ser multiplicadores de lagrange com uma restrição. Vamos lá então.

Maaaaaas, não podemos aplicar direto Lagrange, pois temos uma restrição com “ ”, e não “ = ”. Então vamos começar achando os pontos críticos da função.

Aí teremos que guardar como candidatos só os pontos críticos que estiverem dentro do disco e, depois, analisamos os candidatos na borda do disco usando Lagrange.

O gradiente de f é:

∇ f x , y = 8 x , 20 y

Igualando a zero:

8 x , 20 y = 0 ,   0

Temos que o único ponto crítico será o ponto ( 0,0 ) .

E esse ponto crítico está dentro do disco, assim, guardemos esse nosso primeiro candidato a máximo ou mínimo da função.

P 1 = ( 0,0 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora sim, na fronteira da região, podemos usar os multiplicadores de Lagrange.

A fronteira da região é definida por:

x 2 + y 2 = 4

Jogando tudo pra esquerda:

x 2 + y 2 - 4

Chamamos isso de g x , y :

g x , y = x 2 + y 2 - 4

Calculamos o seu gradiente:

∇ g x , y = 2 x , 2 y

Passo 3

Perfeito, agora, só precisamos dizer que os gradientes são paralelos! Isso significa que:

8 x , 2 0 y = λ ( 2 x , 2 y )

Igualando cada coordenada e acrescentado a equação da restrição, teremos:

8 x = 2 λ x 2 0 y = 2 λ y x 2 + y 2 = 4  

Passo 4

Agora vamos resolver o sistema.

Como já estamos carecas de saber, não podemos simplesmente cortar o x e o y da primeira e segunda equação sem antes considerar que x = 0 ou y = 0 podem ser soluções.

Dito isso, agora sim, vamos cortar.

Da primeira equação temos que

λ = 4

Da segunda equação temos que

λ = 10

Isso significa que devemos considerar os dois casos separadamente:

• Caso 1: x = 0 e y ≠ 0

• Caso 2: y = 0 e x ≠ 0

Passo 5

Vamos estudar o caso 1.

Se x = 0 , temos, da última equação que

0 2 + y 2 = 4

y = ± 2

E então, temos dois pontos,

P 2 = 0 ,   2

P 3 = 0 , - 2

Passo 6

Agora vamos estudar o caso 2.

Se y = 0 , temos, da última equação que:

x 2 + 0 2 = 4

x = ± 2

Assim, temos mais dois pontos:

P 4 = ( 2,0 )

P 5 = ( - 2,0 )

Passo 7

Agora, só precisamos ver os valores que a função assume em cada um deles.

Lembrando que a função é:

f x , y = 4 x 2 + 10 y 2

Para P 1 = ( 0,0 ) , temos:

f 0,0 = 4.0 2 + 10.0 2 = 0

Para P 2 = 0 ,   2 e P 3 = ( 0 , - 2 ) , temos:

f 0 , ± 2 = 4 ( 0 ) 2 + 10 ( ± 2 ) 2 = 40

Para P 4 = 2,0 e P 5 = ( - 2,0 ) , temos:

f ± 2,0 = 4 ( ± 2 ) 2 + 10 ( 0 ) 2 = 16

Então, os valores máximo e mínimo de f no disco são 40 e 0 , respectivamente.

Resposta

Os valores máximo e mínimo de f no disco são 40 e 0 , respectivamente.

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