12 - Determine os valores máximo e mínimo, se existirem, da função f x , y = x 2 + y 2 + z 2 sujeita aos vínculos x + y + z = 1 e x + 2 x + 3 z = 6 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Temos algo um pouco diferente nessa questão. Foi dada uma função f e devemos calcular os máximos e mínimos dessa função que estão vinculados às equações x + y + z = 1 e x + 2 x + 3 z = 6 .

A gente sabe calcular os máximos e mínimos quando temos uma função e um vínculo, mas com dois vínculos é novidade.

E agora? O que faremos?

Relaxa, pra resolver essa questão, vamos usar multiplicadores de Lagrange, só que no caso, vamos adicionar um multiplicador.

Se chamarmos as equações de vínculo de g x , y , z = x + y + z - 1 e h x , z = x + 2 x + 3 z - 6 , vamos obter

∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h

Onde λ e μ são nossos multiplicadores.

Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os gradientes de f , g e h para formular nossa equação

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Como f é um polinômio que descreve uma esfera, vamos obter suas derivadas por maio da derivação polinomial onde multiplicamos a variável pela potência e subtraímos 1 do expoente. Em cada derivada, podemos ignorar as outras variáveis pois não temos a variável de derivação para derivar

∂ f ∂ x = 2 · x 2 - 1 = 2 x

∂ f ∂ y = 2 · y 2 - 1 = 2 y

∂ f ∂ z = 2 · z 2 - 1 = 2 z

Logo o gradiente de f é

∇ f = 2 x , 2 y , 2 z

Vamos obter o gradiente de g pelo mesmo método do gradiente de f

∂ g ∂ x = x 1 - 1 = 1

∂ g ∂ y = y 1 - 1 = 1

∂ g ∂ z = z 1 - 1 = 1

Com isso, o gradiente de g é

∇ g = 1,1 , 1

Por fim, o gradiente de h vai ser obtido da mesma forma. Vamos simplificar a função antes

x + 2 x + 3 z - 6 → 3 x + 3 z - 6

Agora sim.

∂ h ∂ x = 3 x 1 - 1 = 3

∂ h ∂ y = 0

∂ h ∂ z = 3 z 1 - 1 = 3

O gradiente de h é dado por

∇ h = 3,0 , 3

Tranquilo até aqui? 👀👀

Passo 3

Substituindo esses resultados na nossa formulinha que apresentamos lá no início, temos

∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h

2 x , 2 y , 2 z = λ 1,1 , 1 + μ 3,0 , 3

Depois disso, vamos criar um sistema formado pelas equações que obtemos nessa equação vetorial e pelas equações de vínculo.

2 x = λ + 3 μ 2 y = λ 2 z = λ + 3 μ x + y + z = 1 3 x + 3 z = 6

Perceba que o lado direito das equações 1 e 3 são as mesmas, então podemos igualar elas e encontrar que

2 x = 2 z

x = z

Substituindo esse resultado na última equação, temos

3 z + 3 z = 6

x = z = 1

Substituindo esse resultado na quarta equação, vamos obter y

1 + y + 1 = 1

y = - 1

Com isso, encontramos apenar um ponto

1 , - 1,1

E aí? Como vamos dizer se ponto é de máximo ou mínimo?

Passo 4

Lembra do teste da segunda derivada? Então, vamos usa-la pra determinar se é um ponto máximo ou é um ponto mínimo.

No caso, como estamos em f x , y , z , nosso determinante vai ser um pouquinho diferente

f x x f x y f x z f y x f y y f z y f z x f z y f z z

Lembrando que f x = 2 x , f y = 2 y e f z = 2 z .

Com isso, podemos afirmar que as derivadas mistas f x y , f x z , f y x , f z y , f z x e f z y vão ser 0 , já que em f x não temos y e z pra derivar, em f y não temos x e z e f z não tem x e y .

Lembrando que se o resultado do determinante e f x x forem positivos, o ponto é um ponto de mínimo. Se o determinante for positivo e f x x for negativo, o ponto é um ponto máximo e se o determinante for negativo, o ponto não é nem de máximo nem de mínimo.

Vamos obter as segundas derivadas pelo mesmo método que derivamos as primeiras derivadas.

f x x = 2

f y y = 2

f z z = 2

Com isso, o determinante é dado por

2 0 0 0 2 0 0 0 2 = 8

f x x é positivo assim como o determinante, logo o ponto 1 , - 1,1 é um ponto mínimo!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

1 , - 1,1 ponto mínimo.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições. f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 , x - y = 1 , y 2 - z 2 = 1
14. Utilize os Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). 14 )f x 1 ,x 2 , … , x n = x 1 + x 2 + … + x n ; x 1 2 + x 2 2 + …
(a) Se seu sistema de computação algébrica traça o gráfico de curvas definidas implicitamente, use-o para estimar os valores mínimo e máximo de f x ,y = x 3 + y 3 + 3 x y sujeita a x - 3 2 + y - 3 2 =
9. Área de superfície mínima com volume fixo. Encontre as dimensões da lata cilíndrica circular reta fechada de menor área de superfície cujo volume seja .