(Capítulo 14.8 – Exercício 39) Resolva pelo método dos multiplicadores de Lagrange o exercício 49 da seção 14.7 .

Determine as dimensões de uma caixa retangular de volume máximo tal que a soma dos comprimentos de suas 12 arestas seja uma constante c .

Passo 1

Faaala galerinha!

Queremos achar as dimensões x , y e z que maximizam o volume de uma caixa mas de modo que a soma dos comprimentos de suas 12 arestas seja uma constante c .

Assim, queremos maximizar a função

V = f x , y , z = x y z

com a restrição

4 x + y + z = c ⇒ x + y + z = c 4

Cada aresta aparece quatro vezes na caixa, assim a soma das arestas será 4 x + 4 y + 4 z .

Desta forma, queremos maximizar f sujeita à restrição

g x , y , z = x + y + z - c 4

Pelo método dos multiplicadores de Lagrange:

∇ f = λ   ∇ g

Então boraaa

Passo 2

Calculando os gradientes:

∇ f = y z ,   x z ,   x y

∇ g = ( 1 ,   1 ,   1 )

Assim,

y z ,   x z ,   x y = λ   ( 1 ,   1 ,   1 )

Portanto,

y z = λ x z = λ x y = λ

Assim, tiramos que

y z = x z

Como as dimensões da caixa não pode ser zero, podemos simplificar z na equação, obtendo

x = y

Analogamete, igualando a segunda equação do sistema com a terceira:

x z = x y ⇒ y = z

Obtivemos então

x = y = z

Substituindo isso na restrição:

x + x + x = c 4 ⇒ x = y = z = c 12

Como esse é o único candidato obtido e pela natureza do problema existe um máximo, ele é o máximo! Assim, o volume é dado por

V = c 12 3

E fimmmm

Resposta

x = y = z = c 12

Exercícios de Livros Relacionados

Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições. f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 , x - y = 1 , y 2 - z 2 = 1
14. Utilize os Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). 14 )f x 1 ,x 2 , … , x n = x 1 + x 2 + … + x n ; x 1 2 + x 2 2 + …
(a) Se seu sistema de computação algébrica traça o gráfico de curvas definidas implicitamente, use-o para estimar os valores mínimo e máximo de f x ,y = x 3 + y 3 + 3 x y sujeita a x - 3 2 + y - 3 2 =
9. Área de superfície mínima com volume fixo. Encontre as dimensões da lata cilíndrica circular reta fechada de menor área de superfície cujo volume seja .