Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Um disco circular tem a forma da região x 2 + y 2 ≤ 1 . Se T graus é a temperatura em qualquer ponto do disco e T = 2 x 2 + y 2 - y , encontre os pontos mais quentes e mais frios do disco.

Passo 1

A primeira coisa que temos que ver é se há algum ponto crítico dentro da região:

Calcular gradiente da função:

∇ f x , y = 4 x , 2 y - 1

O ponto crítico deve ter

4 x = 0

2 y - 1 = 0

Da primeira e da segunda equação equação vamos ter

x = 0

y = 1 2

O ponto crítico vai ser

x , y = 0 , 1 2

Vamos ver agora se esse ponto está dentro do disco, substituindo o valor na região temos

0 2 + 1 2 2 ≤ 1

1 4 ≤ 1

Isso é verdade então ele está na restrição, devemos agora aplicar o teste da segunda derivada para ver se ele é ponto de máximo ou mínimo ou não é nada.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que fazer

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

Para cada ponto, para isso primeiro vamos achar as derivadas

f x x = 4

f y y = 2

f x y = 0

Vamos começar pelo ponto 0 , 1 2 , as derivadas vão ser

f x x = 4

f y y = 2

f x y = 0

Então

H 0 , 1 2 = f x x 0 , 1 2 f x y 0 , 1 2 f y x 0 , 1 2 f y y 0 , 1 2 = 4 0 0 2 = 8

Logo como f x x > 0 ele vai ser um ponto de mínimo local.

Passo 3

Vamos agora verificar os máximos e mínimos na fronteira do disco, ou seja, quando

x 2 + y 2 = 1

Pegar equação da superfície e jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar zero no lado direito:

Equação da superfície:

x 2 + y 2 = 1

⇒ x 2 + y 2 - 1 = 0

Passo 4

Definir função g x , y sendo o lado esquerdo da equação acima:

g x , y = x 2 + y 2 - 1

Passo 5

Calcular gradiente de g x , y :

∇ g x , y = 2 x , 2 y

Passo 6

Utilizar multiplicador de Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

⇒ 4 x , 2 y - 1 = λ 2 x , 2 y

Passo 7

Igualar coordenadas e encontrar sistema:

4 x = λ 2 x 2 y - 1 = 2 λ y

Passo 8

Adicionar equação da superfície ao sistema encontrado acima:

Equação da fronteira: x 2 + y 2 = 1

4 x = 2 λ x 2 y - 1 = 2 λ y x 2 + y 2 = 1

Passo 9

Pela primeira equação vamos ter

x = 0         o u         λ = 2

Se x = 0 , pela terceira equação temos

0 2 + y 2 = 1

y 2 = 1

y = ± 1

Não precisamos nos preocupar com o valor de λ aqui, já temos x e y desse ponto. Vamos ao outro ponto.

Se λ = 2 temos

2 y - 1 = 4 y

- 1 = 2 y

y = - 1 2

Substituindo na equação da fronteira vamos ter

x 2 + - 1 2 2 = 1

x 2 + 1 4 = 1

x 2 = 3 4

x = ± 3 2

Os pontos que achamos foram

0,1

0 , - 1

3 2 , - 1 2

- 3 2 , - 1 2

Passo 10

Vamos pegar os 5 pontos que temos, os 4 da restrição e o nosso ponto de mínimo local, o menor valor vai ser o mínimo no disco e o maior valor da função vai ser o máximo no disco.

0 , 1 2 ⇒ T = 2 ∙ 0 2 + 1 2 2 - 1 2 = 1 4 - 1 2 = - 1 4

0,1 ⇒ T = 2 ∙ 0 2 + 1 2 - 1 = 1 - 1 = 0

0 , - 1 ⇒ T = 2 ∙ 0 2 + - 1 2 - - 1 = 1 + 1 = 2

3 2 , - 1 2 ⇒ T = 2 ∙ 3 2 2 + - 1 2 2 - - 1 2 = 3 2 + 1 4 + 1 2 = 6 + 1 + 2 4 = 9 4

- 3 2 , - 1 2 ⇒ T = 2 ∙ - 3 2 2 + - 1 2 2 - - 1 2 = 3 2 + 1 4 + 1 2 = 6 + 1 + 2 4 = 9 4

Assim o máximo vai ser em

3 2 , - 1 2

- 3 2 , - 1 2

Mínimo vai ser em

0 , 1 2

Resposta

0 , 1 2 ⇒ M í n i m o ⇒ T = - 1 4

3 2 , - 1 2 ⇒ M á x i m o ⇒ T = 9 4

- 3 2 , - 1 2 ⇒ M á x i m o ⇒ T = 9 4

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