Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

UFRJ, Cálculo 2, P2 2018.1, questão 12

Deseja fabricar-se uma caixa de papelão retangular, sem tampa, com volume 32000   c m 3 . Quais as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de papelão a ser utilizado?

a 40   c m ,   40   c m ,   20   c m

b 8 0   c m ,   2 0   c m ,   20   c m

c 40 0   c m ,   40   c m ,   2   c m

d 80 0   c m ,   2 0   c m ,   2   c m

e 40 0   c m ,   2 0   c m ,   4   c m

Passo 1

Temos que modelar o problema numa linguagem matemática.

Digamos que as dimensões da caixa são x ,   y e z . Então o volume da caixa é V = x y z = 32000   c m 3 .

Agora vamos analisar o que de fato queremos na questão. Queremos minimizar a quantidade de papelão usado, ou seja, queremos minimizar a área de papelão da nossa caixa.

Essa área total é a soma das áreas de cada lado da caixa, né? E cada par de lados tem sua área e suas dimensões. Então vamos achar a área de cada par de lados!

Para os lados 1 e 2, temos que a área é:

A 1 = 2 × ( x z )

Para os lados 3 e 4 temos que a área é:

A 2 = 2 × ( y z )

E para o fundo da caixa temos que a área é:

A 3 = x y

Assim, a área total da caixa é:

A T = A 1 + A 2 + A 3 = 2 x z + 2 y z + x y

Então, resumindo tudo, queremos minimizar a função área total:

A T = 2 x z + 2 y z + x y

Restrita ao volume

V = x y z = 32000

Vamos usar Lagrange!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calular os gradientes da função A T e da função V :

A T = 2 x z + 2 y z + x y

∇ A T = ( 2 z + y , 2 z + x , 2 x + 2 y )

E

V = x y z - 32000 = 0

∇ V = ( y z , x z , x y )

Passo 3

Apliando multiplicador de Lagrange:

∇ A ( x , y , z ) = λ ∇ V ( x , y , z )

Acrescentando a condição V x , y , z = 0 , obtemos o sistema

2 z + y = λ y z 2 z + x = λ x z 2 x + 2 y = λ x y x y z - 32000 = 0

Multiplicando a 1ª equação por x , a 2ª por y e a 3ª por z , obtemos:

2 x z + x y = λ x y z 2 y z + x y = λ x y z 2 x z + 2 y z = λ x y z x y z - 32000 = 0

Logo:

2 x z + x y = 2 y z + x y = 2 x z + 2 y z

Passo 4

Vamos separar essa equação em duas:

2 x z + x y = 2 y z + x y ⇒ x z = y z 1 2 x z + x y = 2 x z + 2 y z ⇒ x y = 2 y z 2

Não podemos ter dimensões negativas e o volume não é nulo então x > 0 , y > 0 e z > 0 . Considerando isso, pelas equação ( 1 ) temos:

x = y

E a equação ( 2 ) nos dá:

x = 2 z

Assim,

z = y 2

Passo 5

Ótimo! Então usando a restrição x y z - 32000 obtemos

y . y . y 2 = 32000

⇒ y 3 = 64000

⇒   y = 64000 3 = 40

Então para x e z temos:

x = y = 40

z = y 2 = 20

Só achamos uma solução: x , y , z = 40,40,20 . Então esse é o ponto que minimiza a quantidade de papelão a ser utilizado.

Resposta

Letra a

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