(Capítulo 14.8 – Exercício 36) Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.

Exercício 46

Passo 1

Falaaa... belezinha??? Nessa questão vamos usar os multiplicadores de Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

E a nossa função f podemos definir como:

f x , y , z = x y z

E a restrição vai ser:

g x , y , z = x y + x z + y z = 32 c m 2

Que é a metade da área da superfície dessa caixa

Então só bora meter a mão na massa.

Passo 2

Então bora...

∇ f = λ ∇ g

f x , f y , f z = λ g x , g y , g z

y z , x z , x y = λ + z , x + z , x + y

Daí ficamos com o sisteminha:

y z = λ ( y + z ) x z = λ x + z x y = λ ( x + y )

Subtraindo II de I e agrupando os termos, ficamos com z y - x = λ ( y - x ) , o que implica z = λ ou y = x .

Em II, z = λ implica   λ = 0 . Mas, se λ = 0 , de I, II e III concluímos que o produto entre duas medidas x , y , z quaisquer seria 0 , o que é impossível, pois isso resultaria em arestas com comprimento 0. Portanto, z ≠ λ e y = x .

Da mesma forma, subtraindo III de II, ficamos com x z - y = λ ( z - y ) , o que implica x = λ ou z = y . Em II, x = λ implica λ = 0 , e recaímos no caso anterior. Logo, x ≠ λ e z = y .

Temos então x = y = z . Substituindo essa relação na restrição, e como x , y , z > 0 , achamos x = y = z = 4 3 √ 6 . Nossa caixa, portanto, é um cubo de aresta 4 3 6 c m .

E é issoooo

Resposta

4 3 6

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