Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Multiplicadores de LaGrange

Qual o ponto da parábola y = x 2 que se encontra mais próximo do ponto 0,1 ∈ R 2 ?

Passo 1

Ponto mais próximo? Hmm... me soa que temos uma “função distância”, e que queremos minimizá-la, certo? Mas, além disso, temos algo que serve como “guia”, como restrição para a função distância: a equação da parábola!

Como estamos trabalhando no R 2 , a distância entre dois pontos é dada por:

D = x - x 0 2 + y - y 0 2

Neste caso, como queremos a distância em relação à 0,1 ,

D = x - 0 2 + y - 1 2

E aqui vem um pulo do gato que você vai querer guardar: Tá, queremos o mínimo da distância. Mas concorda que o mínimo dessa função coincide com o mínimo do seu quadrado? Isso acontece porque a distância é sempre um número positivo, e o mínimo de D vai gerar o mínimo de D 2 ! A vantagem de pensar assim é que na hora de derivar, não teremos essa raiz em volta de tudo! Assim, vamos minimizar a função que batizaremos de R , que é obtida elevando-se D ao quadrado:

R = x 2 + y - 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show, agora que temos a função e a restrição, apliquemos LaGrange:

∇ R = λ ∇ P

Em que P é a equação da parábola, show? Os vetores gradiente são conseguidos derivando a função em relação a cada uma de suas variáveis:

∇ R = R x , R y

Então pegamos R e derivamos em relação a x e a y :

R x = 2 x

R y = 2 y - 1 . 1

∇ R = 2 x , 2 y - 1

Agora, fazendo o mesmo para a parábola:

P = y - x 2

P x = - 2 x

P y = 1

∇ P = - 2 x , 1

Passo 3

Agora voltamos à equação de LaGrange:

2 x , 2 y - 1 = λ - 2 x , 1

E podemos montar um sisteminha com as coordenadas acima igualadas e a função de restrição:

2 x = - 2 λ x 2 y - 2 = λ y = x 2

Da primeira equação, temos que λ = - 1 , logo de cara! Colocando esse valor na equação de baixo temos:

2 y - 2 = - 1

y = 1 2

E colocando esse valor na terceira equação, teremos:

1 2 = x 2

x = ± 1 2 = ± 2 2

Passo 4

É isso! Como não temos mais o que fazer, pois já descobrimos as coordenadas dos pontos, ± 2 2 , 1 2 , aqui vai uma plotagem de quebra pra você visualizar melhor :)

Resposta

Os pontos mais próximos de 0,1 são ± 2 2 , 1 2

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