Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar a menor distância entre o ponto ( 2,0 , - 3 ) e o plano

x + y + z = 1

Passo 1

A função a ser minimizada é a distância de um ponto até o ponto ( 2,0 - 3 ) , ou seja:

D x , y , z = ( x - 2 ) 2 + y 2 + ( z + 3 ) 2

Jogada de mestre: minimizar a função distância, é equivalente a minimizar o quadrado da função distância, isto é:

f x , y , z = ( x - 2 ) 2 + y 2 + ( z + 3 ) 2

Basta minimizar essa função para pontos restritos ao plano x + y + z = 1

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Passo 2

Calcular gradiente da função:

∇ f x , y , z = 2 ( x - 2 ) ,   2 y ,   2 ( z + 3 )

Passo 3

Pegar equação da superfície e jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar zero no lado direito:

Equação da superfície:

x + y + z = 1

⇒ x + y + z - 1 = 0

Passo 4

Definir função g x , y , z sendo o lado esquerdo da equação acima:

g x , y , z = x + y + z - 1

Passo 5

Calcular gradiente de g x , y :

∇ g x , y , z = 1 ,   1,1

Passo 6

Utilizar multiplicador de Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

⇒ 2 ( x - 2 ) ,   2 y ,   2 ( z + 3 ) = λ 1,1 , 1

Passo 7

Igualar coordenadas e encontrar sistema:

2 ( x - 2 ) = λ 1      

2 y = λ 1    

  2 ( z + 3 ) = λ 1

Passo 8

Adicionar a equação da curva ao sistema encontrado acima:

Equação do plano: x + y + z = 1

2 ( x - 2 ) = λ  

    2 y = λ      

2 ( z + 3 ) = λ    

  x + y + z = 1  

Passo 9

Resolver o sistema:

Somando as três equações:

2 x + 2 y + 2 z - 4 + 6 = 3 λ

Maaaas, sabemos que

x + y + z = 1

Assim

2 x + 2 y + 2 z = 2

Então, substituindo isso na equação ali em cima:

2 - 4 + 6 = 3 λ

3 λ = 4

λ = 4 3

Passo 10

Substituindo λ nas equações do sistema:

2 ( x - 2 ) = 4 3   ⇒ x = 16 6 = 8 3      

2 y = 4 3   ⇒ y = 1 2   4 6 = 2 3      

2 ( z + 3 ) = 4 3   ⇒ z =   - 14 6 = - 7 3

Então o ponto que minimiza a função é

8 3 , 2 3 ,   - 7 3

Passo 11

Acontece que ainda falta descobrir qual é a tal da menor distância.

Pra isso é só substituir esse ponto na função.

f x , y , z = ( x - 2 ) 2 + y 2 + ( z + 3 ) 2

f 8 3 , 2 3 ,   - 7 3 = 8 3 - 2 2 + 2 3 2 + - 7 3 + 3 2 = 4 3

Maaaaas, essa não é a distância mínima AINDA. Essa é a distância mínima ao quadrado.

Pra saber a distância mínima então é só a gente tirar a raiz ☺

d m i n = 4 3 = 2 3 = 2 3 3

Resposta

d m i n = 2 3 3

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