Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Elaboração Própria

Calcule os pontos de máximo e mínimo absolutos de

f x , y , z = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - z

Na esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Passo 1

Calcular gradiente da função:

∇ f x , y , z = 2 x ,   4 y ,   6 z - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pegar a equação da superfície e joga tudo para o lado esquerdo e deixe zero no lado direito. Essa será nossa função g ( x , y , z ) :

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

Seu gradiente vai ficar:

∇ g x , y , z = ( 2 x , 2 y , 2 z )

Passo 3

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z

⇒   2 x , 4 y , 6 z - 1 = λ ( 2 x , 2 y , 2 z )

Igualando termo a termo e adicionando a equação da superfície de restrição, ficamos com o sistema

2 x = λ 2 x 1 4 y = λ 2 y 2 6 z - 1 = λ 2 z 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1 4

Passo 4

Resolvendo o sistema, pela equação ( 1 ) temos

x = 0     o u     λ = 1

e pela equação ( 2 ) :

y = 0     o u     λ = 2

Repare que não podemos ter x ≠ 0 e y ≠ 0 ao mesmo tempo porque senão pela ( 1 ) teríamos λ = 1 e pela ( 2 ) λ = 2 . Então vamos ter 3 possibilidades:

  • x = y = 0
  • x = 0 e y ≠ 0
  • x ≠ 0 e y = 0

Vamos olhar caso por caso!

Passo 5

Começando pelo primeiro

Se x = y = 0 , a equação ( 4 ) fica:

z = ± 1

Vamos testar se esses valores condizem com a equação ( 3 ) :

6 z - 1 = λ 2 z

Caso z = 1 :

5 = λ 2

⇒ λ = 5 2

E caso z = - 1 :

- 7 = - 2 λ

λ = 7 2

Tudo certo! :)

Assim, obtemos 2 pontos candidatos: os pontos P 1 = ( 0,0 , 1 ) e P 2 = ( 0,0 , - 1 ) .

Passo 6

Agora vamos ao segundo caso.

Se x = 0 e y ≠ 0 :

Pela equação ( 2 ) temos λ = 2 .

Então, substituindo isso na equação ( 3 ) ela fica:

z = 1 2

Substituindo na ( 4 ) :

y = ± 3 2

Mais 2 candidatos! Os pontos P 3 = 0 , 3 2 , 1 2 e P 4 = 0 , - 3 2 , 1 2 .

Passo 7

  • Agora é a última possibilidade! Se x ≠ 0 e y = 0 :

Pela equação ( 1 ) temos λ = 1 . Substituindo isso na ( 3 ) encontramos:

z = 1 4

Agora vamos achar o x com a equação ( 4 ) . Para isso, é só substituir y = 0 nela. Encontramos:

x = ± 15 4

Logo, os nossos últimos 2 candidatos são os pontos P 5 = 15 4 , 0 , 1 4 e P 6 = - 15 4 , 0 , 1 4 .

Passo 8

Recapitulando, achamos os pontos

P 1 = 0,0 , 1 , P 2 = 0,0 , - 1 , P 3 = 0 , 3 2 , 1 2 , P 4 = 0 , - 3 2 , 1 2 , P 5 = 15 4 , 0 , 1 4 , P 6 = - 15 4 , 0 , 1 4

Para saber quem desses pontos é o máximo e quem é o mínimo, é só calcular os valores da função f para cada um deles. Fazendo isso, ficamos com:

f P 1 = 2 , f P 2 = 4 , f P 3 = 7 4 , f P 4 = 7 4 , f P 5 = 7 8 , f P 6 = 7 8

Portanto, os pontos de máximo e mínimo de f , restrita à esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 , são os pontos 0 ,   0 ,   - 1 (máximo), e 15 4 , 0 , 1 4 e - 15 4 , 0 , 1 4 (mínimo).

Resposta

Os pontos de máximo e mínimo de f , restrita à esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 , são os pontos 0 ,   0 ,   - 1 (máximo), e 15 4 , 0 , 1 4 e - 15 4 , 0 , 1 4 (mínimo).

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