Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Waldecir Bianchini, Aprendendo Cálculo de Várias Variáveis, exemplo 6.9 p. 122

Determinar os extremos da função z = f x , y = x 2 + y 2 - 2 x - 2 y + 3 sobre a curva C : 4 x 2 - 8 x + y 2 - 2 y + 1 = 0

Passo 1

Calcular gradiente da função:

f x , y = 2 x - 2 ,   2 y - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pega a equação da curva e joga tudo para o lado esquerdo e deixe zero no lado direito:

4 x 2 - 8 x + y 2 - 2 y + 1 = 0

Já está!

Passo 3

Definir função g x , y sendo o lado esquerdo da equação acima:

g x , y = 4 x 2 - 8 x + y 2 - 2 y + 1

Passo 4

Calcular gradiente de g x , y :

g x , y = 8 x - 8 ,   2 y - 2

Passo 5

Utilizar multiplicador de Lagrange:

f = λ g

2 x - 2 ,   2 y - 2 = λ 8 x - 8 ,   2 y - 2

Passo 6

Igualar coordenadas e encontrar sistema:

2 x - 2 = λ 8 x - 8   2 y - 2 = λ 2 y - 2

Passo 7

Adicionar equação da curva ao sistema encontrado acima:

Equação da curva: 4 x 2 - 8 x + y 2 - 2 y + 1 = 0

Completando quadrados:

4 x 2 - 8 x + y 2 - 2 y + 1 = 0

4 x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 2 y + 1 = 4

4 x - 1 2 + y - 1 2 = 4

Logo:

2 x - 2 = λ 8 x - 8   2 y - 2 = λ 2 y - 2   4 x - 1 2 + y - 1 2 = 4

Colocando algumas coisas em evidência:

x - 1 = 4 λ x - 1   y - 1 = λ y - 1   4 x - 1 2 + y - 1 2 = 4

Jogando as duas primeiras equações para o lado esquerdo:

4 λ - 1 x - 1 = 0   λ - 1 y - 1 = 0   4 x - 1 2 + y - 1 2 = 4

Passo 8

Resolver o sistema:

Essa é a parte mais Mandrake da história. Muitas vezes temos que dar uma olhada atenta na forma mais simples de resolver.

Pela primeira equação, temos que

4 λ - 1 = 0 ou x - 1 = 0

1ª hipótese: 4 λ - 1 = 0 :

λ = 1 4

Pela segunda equação:

λ - 1 0 y - 1 = 0

y - 1 = 0

y = 1

E pela terceira equação:

4 x - 1 2 + y - 1 2 = 0 = 4

4 x - 1 2 = 4

x - 1 2 = 1

x - 1 = ± 1

x = 1 ± 1

Portanto x = 2 ou x = 0

Então dois pontos satisfazem essa hipótese:

P 1 = 2,1   ; P 2 = 0,1

2ª hipótese: x - 1 = 0

x = 1

Pela terceira equação:

4 x - 1 2 = 0 + y - 1 2 = 4

y - 1 2 = 4

y - 1 = ± 2

y = 1 ± 2

Portanto y = 3 ou y = - 1

Então outros dois pontos satisfazem essa segunda hipótese:

P 3 = 1,3   ; P 4 = 1 , - 1

Passo 9

Substituir pontos encontrados:

Antes de tudo, podemos completar quadrados na expressão da função f para facilitar as contas:

f x , y = x 2 + y 2 - 2 x - 2 y + 3

f x , y = x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 2 y + 1 + 3 - 1 - 1

f x , y = x - 1 2 + y - 1 2 + 1

Substituindo P 1 :

f P 1 = f 2,1

f P 1 = 2 - 1 2 + 1 - 1 2 + 1

f P 1 = 1 2 + 0 2 + 1

f P 1 = 2

Substituindo P 2 :

f P 2 = f 0,1

f P 2 = 0 - 1 2 + 1 - 1 2 + 1

f P 2 = - 1 2 + 0 2 + 1

f P 2 = 2

Substituindo P 3 :

f P 3 = f 1,3

f P 3 = 1 - 1 2 + 3 - 1 2 + 1

f P 3 = 0 2 + 2 2 + 1

f P 3 = 5

Substituindo P 4 :

f P 4 = f 1 , - 1

f P 4 = 1 - 1 2 + - 1 - 1 2 + 1

f P 4 = 0 2 + - 2 2 + 1

f P 4 = 5

Passo 10

Verificar quais são os pontos de máximo e mínimo:

Notemos que

f P 1 = f P 2 = 2

f P 3 = f P 4 = 5

Logo, os pontos P 1 e P 2 são pontos de mínimo e os pontos P 3 e P 4 são pontos de máximo.

Resposta

Pontos de máximo: 1,3 e 1 , - 1

Pontos de mínimo: 2,1 e 0,1

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