Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Multiplicadores de Lagrange

Determine, se existirem, os pontos de máximo e mínimo absolutos de f x , y , z = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - z no domínio D = x , y , z ∈ R 3     x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 .

Passo 1

Primeiramente, a gente pode notar que a função é contínua (é um polinômio) e o domínio D é fechado (é uma esfera), então o problema tem solução! Acho que você não perderia ponto na prova por não falar isso, mas também não custa nada! :)

Vamos começar achando os pontos críticos da f .

Calculando as derivadas parciais:

∂ f ∂ x x , y , z = 2 x + 0 + 0 + 0 - 0 = 2 x

∂ f ∂ y x , y , z = 0 + 2.2 y + 0 - 0 = 4 y

∂ f ∂ z x , y , z = 0 + 0 + 3.2 z - 1 = 6 z - 1

Agora temos que igualar essas derivadas a zero:

∇ f x , y , z = 0

⇒ 2 x , 4 y , 6 z - 1 = 0

x = 0 y = 0 6 z = 1 ⇒ z = 1 6

Assim obtemos o único ponto crítico P 0 = 0,0 ,   1 6 . Repare que

0 2 + 0 2 + 1 6 2 ≤ 1   ⇒ P 0 ∈ D

Então P 0 é o nosso primeiro candidato a ponto de máximo ou mínimo de f em D .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que analisar a fronteira do conjunto D , a esfera de equação

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Vamos seguir nosso procedimento clássico:

- jogar tudo pra esquerda deixando zero na direita:

x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

- chamar o lado esquerdo de g x , y , z :

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 1

- calcular gradiente da g :

∇ g x , y , z = ( 2 x , 2 y , 2 z )

- usar o método dos multiplicadores de Lagrange:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z

⇒   2 x , 4 y , 6 z - 1 = λ ( 2 x , 2 y , 2 z )

- adicionar equação da fronteira de D :

x 2 + y 2 + z 2 = 1

- obter o sistema

2 x = λ 2 x 1 4 y = λ 2 y 2 6 z - 1 = λ 2 z 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1 4

Passo 3

Show, vamos resolver esse sistema!

Pela equação ( 1 ) temos

x = 0     o u     λ = 1

e pela equação ( 2 ) :

y = 0     o u     λ = 2

Repare que não podemos ter x ≠ 0 e y ≠ 0 senão as equações estariam em contradição! Pela ( 1 ) teríamos λ = 1 e pela ( 2 ) λ = 2 . Então vamos ter 3 possibilidades:

  • x = y = 0
  • x = 0 e y ≠ 0
  • x ≠ 0 e y = 0

Vamos olhar caso por caso!

Passo 4

Se x = y = 0 , a equação ( 4 ) fica:

0 2 + 0 2 + z 2 = 1

z = ± 1

Vamos testar se esses valores condizem com a equação ( 3 ) :

6 z - 1 = λ 2 z

Caso z = 1 :

5 = λ 2

⇒ λ = 5 2

E caso z = - 1 :

- 7 = - 2 λ

λ = 7 2

Tudo certo! :)

Assim, obtemos 2 pontos candidatos: os pontos P 1 = ( 0,0 , 1 ) e P 2 = ( 0,0 , - 1 ) .

Passo 5

Se x = 0 e y ≠ 0 :

Pela equação ( 2 ) temos λ = 2 .

Então a equação ( 3 ) fica:

6 z - 1 = 2.2 z

2 z = 1

⇒ z = 1 2

Substituindo na ( 4 ) :

0 2 + y 2 + 1 4 = 1

y 2 = 3 4

y = ± 3 2

Mais 2 candidatos! Os pontos P 3 = 0 , 3 2 , 1 2 e P 4 = 0 , - 3 2 , 1 2 .

Passo 6

Agora é a última possibilidade! Se x ≠ 0 e y = 0 :

pela equação ( 1 ) temos λ = 1 , o que na ( 3 ) dá:

6 z - 1 = 2 z

4 z = 1

z = 1 4

Agora vamos achar o x com a equação ( 4 ) :

x 2 + 0 + 1 16 = 1

x 2 = 15 16

x = ± 15 4

Logo, os nossos último 2 candidatos são os pontos P 5 = 15 4 , 0 , 1 4 e P 6 = - 15 4 , 0 , 1 4 . Até que enfim!

Passo 7

Recapitulando, os candidatos a ponto de máximo ou mínimo de f no conjunto D são:

P 0 = 0,0 ,   1 6

P 1 = ( 0,0 , 1 )

P 2 = 0,0 , - 1

P 3 = 0 , 3 2 , 1 2

P 4 = 0 , - 3 2 , 1 2

P 5 = 15 4 , 0 , 1 4

P 6 = - 15 4 , 0 , 1 4

Passo 8

Vamos calcular o valor da função em cada ponto para assim determinar qual é o máximo e qual o mínimo, show?

Portanto, o ponto de mínimo de f em D é 0,0 , 1 6 e o ponto de máximo é 0,0 , - 1 , com valores mínimo e máximo respectivos de - 1 12 e 4 .

Resposta

Ponto de mínimo: 0,0 , 1 6 , valor mínimo - 1 12 .

Ponto de máximo: ( 0,0 , - 1 ) , valor máximo 4 .

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