Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

UFRJ, Cálculo 2, PF 2016.1, questão 8

A distância entre o ponto P 0,0 , 5 e o plano - 5 x - y + 2 z + 5 = 0 é igual a:

a 15 / 2  

b 5 / 2

c 15 / 2

d 5 / 2

e 15

Passo 1

Queremos a menor distância entre o plano e o ponto P , ou seja, queremos minimizar a distância f = D 2 = x - 0 2 + y - 0 2 + z - 5 2 = x 2 + y 2 + z - 5 2 , sujeito a restrição - 5 x - y + 2 z + 5 = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular gradiente da função:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Fazendo as derivadas parciais, vamos ter

∇ f x , y , z = 2 x ,   2 y , 2 z - 5

Passo 3

Definir função g x , y sendo o lado esquerdo da equação acima:

g x , y = - 5 x - y + 2 z + 5

Passo 4

Calcular gradiente de g x , y :

∇ g x , y = - 5 ,   - 1,2

Passo 5

Utilizar multiplicador de Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

⇒ 2 x ,   2 y , 2 z - 5 = λ - 5 ,   - 1,2

Passo 6

Igualar coordenadas e encontrar sistema:

2 x = λ - 5 2 y = λ - 1 2 z - 5 = λ 2

Passo 7

Adicionar a equação do plano ao sistema encontrado acima:

Equação do plano: - 5 x - y + 2 z + 5 = 0

2 x = λ - 5 2 y = λ - 1 2 z - 5 = λ 2 - 5 x - y + 2 z + 5 = 0

Passo 8

Então:

x = - 5 2 λ

y = - λ 2

z = λ + 5

Substituindo na equação do plano:

- 5 x - y + 2 z + 5 = 0

- 5 - 5 2 λ - - λ 2 + 2 λ + 5 + 5 = 0

Ajeitando:

25 2 λ + λ 2 + 2 λ + 15 = 0

15 λ = - 15

Então:

λ = - 1

Logo:

x = 5 2

y = 1 2

z = 4

Passo 9

Substituindo em f temos:

f = D 2 = x 2 + y 2 + z - 5 2 = 5 2 2 + 1 2 2 + - 1 2 = 30 4

D = 30 4 = 15 2

Resposta

Letra a

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas