Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Máximos e Mínimos, Multiplicadores de LaGrange, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente

Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f x , y = 2 x 2 + 3 y 2 - 4 x - 5 na região descrita pela desigualdade x 2 + y 2 ≤ 16 .

Passo 1

Máximo e mínimo em uma região? Isso é trabalho para os pontos críticos e o LaGrange!! Sim, precisamos dos pontos críticos para saber todos os candidatos a máximos e mínimos da função e selecionar os que estiverem dentro da região mencionada. Mas também precisamos de LaGrange para verificar os pontos de máximo e mínimo sobre a fronteira da região, x 2 + y 2 = 16 , beleza?

Começando pelos pontos de máximo e mínimo usuais, temos que derivar a função em relação a x e a y :

f x , y = 2 x 2 + 3 y 2 - 4 x - 5

f x x , y = 4 x - 4

f y x , y = 6 y

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Passo 2

Agora, igualemos cada derivada parcial a 0 , e resolvamos o sistema:

4 x - 4 = 0 6 y = 0  

Da segunda equação, temos que 6 y = 0 , logo, y = 0 é a única solução!

Para a primeira equação, teremos:

4 x = 4

x = 1

E então, nosso ponto candidato a máximo ou mínimo é 1,0 , show? Antes de colocar ele realmente como candidato temos que ver se ele está na restrição. A nossa restrição é

x 2 + y 2 ≤ 16

Substituindo

1 2 + 0 2 ≤ 16

1 ≤ 16

Então ele está na região, cuidado para não se confundir, ele está dentro do círculo, mas não na fronteira.

A restrição aqui tem um , então ela é tanto dentro do círculo quando dentro dele.

Vamos chamá-lo de P 1 = 1,0 :)

Passo 3

Agora, partamos para LaGrange! Para isso, vamos dizer que:

∇ f x , y = λ ∇ G x , y

em que f é a função que queremos max/minimizar, e G é a fronteira restrição, x 2 + y 2 = 16 .

O gradiente de f já fizemos nos passos anteriores, e é o vetor que tem as derivadas parciais:

∇ f x , y = 4 x - 4 ,   6 y

Agora, precisamos do vetor gradiente da função G :

G = x 2 + y 2 - 16

G x x , y = 2 x

G y x , y = 2 y

∇ G x , y = 2 x , 2 y

E, então, temos:

4 x - 4 ,   6 y = λ 2 x , 2 y

Passo 4

Ok, agora temos que resolver o sistema formado pela equação do passo anterior e pela equação da restrição:

4 x - 4 = 2 λ x 6 y = 2 λ y x 2 + y 2 = 16

Pela segunda equação, temos que λ = 3 ou y = 0 são soluções, correto?

Optando por λ = 3 , teremos, na primeira equação, que:

4 x - 4 = 2.3 . x

2 x = - 4

x = - 2

Colocando x = - 2 na equação da restrição, teremos:

- 2 2 + y 2 = 16

y = ± 12

E então, fechamos mais dois pontos com esses valores para y , tendo x = - 2 , P 2 = - 2 , 12 e P 3 = - 2 , - 12 .

Passo 5

Beleza, chegamos naqueles pontos supondo λ = 3 , certo? Mas e se y = 0 ? Nesse caso, teríamos, pela equação da restrição, que:

x 2 + 0 2 = 16

x = ± 4

E, então, temos mais dois pontos: P 4 = 4,0 , P 5 = - 4,0 :D

Passo 6

Pronto! Temos todos os pontos possíveis do nosso amigo LaGrange, e temos ainda aquele candidato de máximo ou mínimo pelo ponto crítico! Assim, agora tudo o que nos resta a fazer é ver o valor que a função assume para cada ponto e depois comparar os valores!

Para P 1 = 1,0 , temos:

f x , y = 2 . 1 2 + 3 . 0 2 - 4.1 - 5 = - 7

Para P 2 = - 2 , 12 , temos:

f x , y = 2 - 2 2 + 3 12 2 - 4 . - 2 - 5 = 47

Para P 3 = - 2 , - 12 , temos:

f x , y = 2 - 2 2 + 3 . - 12 2 - 4 . - 2 - 5 = 47

Para P 4 = 4,0 , temos:

f x , y = 2 . 4 2 + 3 . 0 2 - 4.4 - 5 = 11

Para P 5 = - 4,0 , temos:

f x , y = 2 . - 4 2 + 3 . 0 2 - 4 . - 4 - 5 = 43

E, assim, os pontos de máximo são P 2 e P 3 , enquanto o ponto de mínimo é o P 1 !

Resposta

O ponto de mínimo é o P 1 = 1,0 , e os pontos de máximo são P 2 = - 2 , 12 e P 3 = - 2 , - 12 .

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