Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Deseja-se encontrar os pontos de máximo e mínimo de f x , y = x 1 4 y 3 4 sobre o conjunto K = x , y ∈ R 2 : 5 x + 3 y ≤ 10 ,   x ≥ 0 ,   y ≥ 0 .

  1. O problema tem solução? Justifique.
  2. Em caso afirmativo, determine tais pontos.
  3. A função f acima tem ponto de máximo sobre o conjunto D = x , y ∈ R 2 : 5 x + 3 y ≤ 10 ,   x > 0 ,   y > 0 ? E de mínimo? Justifique suas respostas.

Passo 1

a)

Essa é clássica!

Basta dizer que K é um conjunto compacto (ele é limitado e fechado), e que f é contínua em K (é o produto de funções contínuas), então, pelo teorema de Weierstrass, o problema tem solução.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Identificamos um problema de máximo e mínimo globais num conjunto fechado.

A primeira coisa a ser feita é procurar pelos pontos críticos da função. Então partiu!

Começando pelo gradiente da função:

∇ f x , y = 1 4 x - 3 4 y 3 4 , 3 4 x 1 4 y - 1 4

∇ f x , y = 1 4 y x 3 4 , 3 4 x y 1 4

Passo 3

Igualamos as derivadas parciais a zero:

1 4 y x 3 4 = 0

3 4 x y 1 4 = 0

Opa! Deu pra ver que deu ruim?

Pela 1ª equação, temos y = 0 , mas substituindo isso na 2ª equação temos uma divisão por zero!

Portanto, f não tem pontos críticos.

Passo 4

Antes de mais nada, uma boa vai ser a gente esboçar o conjunto K pra entender melhor o que estamos fazendo:

Passo 5

Ok, vamos continuar.

O próximo passo é separar os vértices da região, no caso, do triângulo.

Podemos ver tranquilamente que um dos vértices é a origem. Os outros dois são as interseções da reta 5 x + 3 y = 10 com os eixos coordenados.

No de cima temos x = 0 , logo

3 y = 10 ⇒ y = 10 3

No de baixo, y = 0 :

5 x = 10 ⇒ x = 2

Então vamos guardar os vértices 0 ,   0 ,   2 ,   0 e 0 , 10 3 .

Esses são os nossos primeiros candidatos a ponto de máximo e mínimo globais de f sobre o conjunto K .

Passo 6

Agora vamos dar uma olhada nas fronteiras de K , ou seja, os lados do triângulo.

Vou defini-los assim:

Lado 1: y = 0 ,   x ∈ 0 ,   2

Lado 2: x = 0 ,   y ∈ 0 , 10 3

Lado 3: 5 x + 3 y = 10 ⇒ y = 10 - 5 x 3 = - 5 3 x + 10 3 , com x ∈ 0 ,   2

Passo 7

Começando pelo lado 1:

y = 0 ,   x ∈ 0 ,   2

f x , y = x 1 4 y 3 4 = 0

Portanto, em todo o lado 1 a função vale zero. Vamos guardar esse resultado pra depois.

Passo 8

Agora vamos pro lado 2:

x = 0 ,   y ∈ 0 , 10 3

Da mesma forma, temos

f x , y = x 1 4 y 3 4 = 0

Assim como no lado 1, no lado 2 todo a função vale zero. Guardamos esse resultado também.

Passo 9

No lado 3 temos

y = - 5 3 x + 10 3 ,     x ∈ 0 ,   2

Então f passa a depender só de x :

f x , y = x 1 4 y 3 4

⇒ f x = x 1 4 - 5 3 x + 10 3 3 4

Vish, que função feia... Teríamos que calcular essa derivada e ver onde ela se anula, o que daria um trabalho do cão.

Sabe o que vamos fazer pra evitar isso?? Continua no próximo passo...

Passo 10

Multiplicadores de Lagrange!!

Espero que a sua curiosidade tenha aguentado esse aproximadamente 1 segundo de suspense. Enfim, é isso, quando a coisa aperta chamamos o parça Lagrange que ele nunca falha.

Temos que achar os máximos/mínimos da função f x , y = x 1 4 y 3 4 sob a reta 5 x + 3 y = 10 .

Pegamos a equação da reta e jogamos tudo pra esquerda:

5 x + 3 y - 10 = 0

Chamamos o lado esquerdo de g x , y :

g x , y = 5 x + 3 y - 10

Assim, a equação da reta é g x , y = 0 .

Calculamos o gradiente da g :

∇ g x , y = 5 ,   3

Aplicamos os multiplicadores de Lagrange:

f x f y g x g y = 0

Passo 11

Calculamos as derivadas parciais da f láá atrás, lembra? Então o determinante é:

1 4 y x 3 4 3 4 x y 1 4 5 3 = 0

3 4 y x 3 4 - 15 4 x y 1 4 = 0

y x 3 4 = 5 x y 1 4

y x 3 = 5 4 x y

Vamos deixar tudo com y na esquerda e tudo com x na direita:

y 3 . y = 5 4 x . x 3

y 4 = 5 4 x 4

⇒ y = 5 x

Passo 12

Agora usamos a equação da restrição:

g x , y = 0 ⇔ 5 x + 3 y = 10

Como y = 5 x , obtemos

y + 3 y = 10

4 y = 10

y = 5 2

⇒ x = 1 2

Ótimo, então no lado 3 temos um ponto candidato: o ponto 1 2 , 5 2 .

Passo 13

Recapitulando, temos os pontos

0 ,   0 ,   2 ,   0 , 0 , 10 3   e   1 2 , 5 2 ,

além dos lados 1 e 2, onde f vale zero.

Agora só nos resta calcular o valor de f nesses 4 pontos. Temos

f 0 ,   0 = 0

f 2 ,   0 = 0

f 0 , 10 3 = 0

f 1 2 , 5 2 = 1 2 1 4 5 2 3 4

Hmm, isso é meio chato de calcular, e na verdade nem precisa. Ele não pediu os valores máximo e mínimo, e sim os pontos. E podemos ver que

f 1 2 , 5 2 > 0

Como todos os outros valem zero, o ponto 1 2 , 5 2 é o ponto de máximo global de f sobre K .

E os pontos de mínimo são todos os pontos que estão sobre os 2 segmentos

x , y = x ,   0 ,     x ∈ 0 ,   2

x , y = 0 ,   y ,     y ∈ 0 , 10 3

Passo 14

c)

Esse novo conjunto é que nem o conjunto K , mas sem os 2 segmentos onde a função vale zero, que são os lados 1 e 2, mais os vértices do triângulo.

Mas essa alteração não afetou nosso ponto 1 2 , 5 2 , ele continua ali de boa, então ele é o ponto de máximo global de f sobre esse novo conjunto.

Passo 15

O problema mesmo é pra tratar do mínimo. Vamos com calma... a função é

f x , y = x 1 4 y 3 4

Isso com x > 0 e y > 0 . Você concorda comigo que f x , y > 0 ?

E temos

lim x , y → 0,0 ⁡ f ( x , y ) = 0

Podemos nos aproximar o quanto quisermos de zero sem nunca alcançá-lo, então não existe ponto de mínimo.

Resposta

a) Sim, pelo teorema de Weierstrass.

b)

Ponto de máximo: 1 2 , 5 2

Pontos de mínimo:

x , y = x ,   0 ,     x ∈ 0 ,   2

x , y = 0 ,   y ,     y ∈ 0 , 10 3

c)

Ponto de máximo: 1 2 , 5 2

f não assume ponto de mínimo nesse conjunto.

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