Determine e classifique os pontos críticos da função f ( x ,   y )   =   y   c o s ( x ) .

Passo 1

Fala, meus lindos e lindas 😊, tudo certinho com vocês? Bora pra questão sem pena. Primeira coisinha é a gente olhar isso de forma gráfica. Vai facilitar pro nosso entendimento mais a frente, confia em mim

Agora bora lá determinar esses pontos críticos 😊

Passo 2

O que que a gente precisa pra determinar os pontos críticos? Isso mesmo, buscaremos os pontos que satisfazem a solução de Lagrange no formato:

∇ f x , y = 0

∇ g x , y = f ' x , y = 0

Equivalentemente:

- y   s e n   x = 0 cos ⁡ x = 0

Aí vem o pulo do gato: Como o seno e cosseno nunca são simultaneamente nulos, então deve alguma hora ocorrer de ao mesmo tempo,

y = 0

cos ⁡ x = 0

A segunda igualdade está no ponto de x = 2 n + 1 π 2 . Obtemos então infinitos pontos críticos

P n = 2 n + 1 π 2 , 0

Passo 3

Para conseguirmos classificar esses pontos críticos, precisamos usar uma ferramenta que é a Hessiana. Nela, encontraremos um determinante de uma matriz feita a partir do Lagrangeano. O valor desse determinante vai nos definir se P n é um ponto de sela (ponto de virada crítica em x e y ). A Hessiana tem o formato:

H x , y = f ' ( x , y ) g ' ( x , y ) g ' ( x , y ) 0

Que pra nossa questão vai ficar:

H x , y = - y   c o s   x = 0 -   s e n   x -   s e n   x 0

Para P n , basta aplicamos os valores de x e y dentro da Hessiana. Esses valores são aqueles que encontramos no passo 2 ( P n )

P n = 2 n + 1 π 2 , 0

Logo,

x = 2 n + 1 π 2

y = 0

Aplicando:

H P n = - 0   c o s   2 n + 1 π 2 -   s e n   2 n + 1 π 2 -   s e n   2 n + 1 π 2 0

Temos então que:

H P n = 0 -   1 -   1 0

Nosso determinante então é det ⁡ H ( P n ) = - - 1 2 = - 1 . Passa o Hessiano, quando temos:

d e t H ( P )   < 0

Então aquele ponto é um ponto de sela. Como nosso determinante é - 1 , então P n é um ponto de sela. E é isso turminha! Finalizamos por aqui 😊. Se ainda restou alguma dúvida, ou gostaria de relatar alguma coisa, manda um feedback pra gente! Vamos adorar te responder, vai se rapidinho

Resposta

P n = 2 n + 1 π 2 , 0

Pontos de sela.

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