Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Multiplicadores de Lagrange

Dada a função

f x , y = x 3 3 - 4 x + y 2 - 1 3

Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos de f na região

D = x , y ∈ R 2   ; x 2 + y 2 ≤ 1

Passo 1

Verificar se há algum ponto crítico no interior da região D :

Calcular gradiente da função:

∇ f x , y = x 2 - 4 ,   2 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar pontos críticos:

∇ f = 0 →

⇒ x 2 - 4 ,   2 y = 0,0

Igualando termo a termo:

x 2 - 4 = 0   2 y = 0

Logo:

x = ± 2   y = 0

Substituindo na equação da curva:

x 2 + y 2 ≤ 1

⇒ ± 2 2 + 0 2 ≤ 1

⇒ 4 ≤ 1

Essa desigualdade não é verdadeira. Logo, o ponto não está no interior da região D !

Passo 3

Verificar máximos e mínimos na fronteira da região:

Pegar equação da curva e jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar zero no lado direito:

Equação da curva:

x 2 + y 2 = 1

⇒ x 2 + y 2 - 1 = 0

Passo 4

Definir função g x , y sendo o lado esquerdo da equação acima:

g x , y = x 2 + y 2 - 1

Passo 5

Calcular gradiente de g x , y :

∇ g x , y = 2 x ,   2 y

Passo 6

Utilizar multiplicador de Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

⇒ x 2 - 4 ,   2 y = λ 2 x ,   2 y

Passo 7

Igualar coordenadas e encontrar sistema:

x 2 - 4 = λ 2 x   2 y = λ 2 y

Colocando algumas coisas em evidência na segunda equação:

x 2 - 4 = 2 λ x   2 λ - 1 y = 0

Passo 8

Adicionar equação da curva ao sistema encontrado acima:

Equação da curva: x 2 + y 2 = 1

x 2 - 4 = 2 λ x   λ - 1 y = 0   x 2 + y 2 = 1

Passo 9

Resolver o sistema:

Pela segunda equação:

λ - 1 y = 0

Temos duas possibilidades:

λ - 1 = 0 ou y = 0

Passo 10

Primeira possibilidade:

λ - 1 = 0

⇒ λ = 1

Substituindo na primeira equação:

x 2 - 4 = 2 λ x

⇒ x 2 - 4 = 2 1 x

⇒ x 2 - 4 = 2 x

⇒ x 2 - 2 x - 4 = 0

Resolvendo essa equação de 2º grau obtemos:

x = 1 ± 5

Se x = 1 - 5 :

Substituindo na terceira equação:

x 2 + y 2 = 1

⇒ 1 - 5 2 + y 2 = 1

⇒ 6 - 2 5 + y 2 = 1

⇒ y 2 = 2 5 - 5

⇒ y 2 = 20 - 25

Como 20 < 25 , então y 2 < 0 .

Então não tem solução real!

Se x = 1 + 5 :

Substituindo na terceira equação:

x 2 + y 2 = 1

⇒ 1 + 5 2 + y 2 = 1

⇒ 6 + 2 5 + y 2 = 1

⇒ y 2 = - 2 5 - 5

Novamente y 2 < 0 : não há solução real!

Passo 11

Segunda possibilidade:

y = 0

Substituindo na terceira equação:

x 2 + y 2 = 1

⇒ x 2 + 0 2 = 1

⇒ x 2 = 1

⇒ x = ± 1

Temos dois pontos para essa segunda possibilidade:

± 1,0

Passo 12

Substituir pontos encontrados para determinar máximo e mínimo:

f x , y = x 3 3 - 4 x + y 2 - 1 3

Substituindo ± 1,0 :

f ± 1,0 = ± 1 3 3 - 4 ± 1 + 0 2 - 1 3

⇒ f ± 1,0 = ± 1 3 ∓ 4 - 1 3

Então:

f 1,0 = 1 3 - 4 - 1 3

⇒ f 1,0 = - 4

f - 1,0 = - 1 3 + 4 - 1 3

⇒ f - 1,0 = 10 3

Passo 13

Temos então os seguintes valores:

f 1,0 = - 4

f - 1,0 = 10 3

Então o valor máximo é 10 /3, correspondente ao ponto - 1,0 .

E o valor mínimo é - 4 , correspondente ao ponto 1,0 .

Resposta

Valor máximo no ponto - 1,0 : 10 / 3

Valor mínimo no ponto 1,0 : - 4

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