Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

A soma das coordenadas do ponto da superfície

z 2 - x y = 9

Pertencente ao semiespaço superior e mais próximo da origem é:

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5

Passo 1

Vamos lá, queremos encontrar o máximo de uma função, percebe? É da função distância! Ela, em R 3 pode ser dada por:

D x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Acontece que encontrar o máximo da função distancia dá no mesmo que encontrar o máximo da função distancia ao quadrado, sendo que essa segunda é muito mais fail nas contas porque não vai ter essa raíz chata. Então bora lá, nossa função vai ser:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Mas ela está restrita a superfície

z 2 - x y = 9

E ao semiespaço superior, isto é, temos que ter

z > 0

Assim, podemos definir nossa restrição como

g x , y , z = z 2 - x y - 9

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular os gradientes de f e de g .

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

∇ f x , y , z = ( 2 x , 2 y , 2 z )

E

g x , y , z = z 2 - x y - 9

∇ g x , y , z = ( - y , - x , 2 z )

Passo 3

Resolvendo a equação matricial

i j k f x f y f z g x g y g z = 0

i j k 2 x 2 y 2 z - y - x 2 z = 0

4 y z   i - 2 y z   j - 2 x 2   k + 2 y 2   k + 2 x z   i - 4 x z   j = 0 →

⇒ 4 y z + 2 x z i - 2 y z + 4 x z j + 2 y 2 - 2 x 2 k = ( 0,0 , 0 )  

Passo 4

Igualando as coordenadas e adicionando a equação da restrição, temos o sistema:

4 y z + 2 x z = 0   - ( 2 y z + 4 x z ) = 0   2 y 2 - 2 x 2 = 0 z 2 - x y = 1

Agora vamos ao macete máster: sempre colocar tudo que der em evidência!! A questão foi feita para isso e isso vai facilitar nossa vida na hora de resolver o sistema.

Dito isso, ficamos com:

2 z ( x + 2 y ) = 0   - 2 z ( y + 4 x ) = 0   2 ( y 2 - x 2 ) = 0 z 2 - x y = 9

Como ta tudo multiplicado por 2, podemos cortar esses 2:

z ( x + 2 y ) = 0   - z ( y + 4 x ) = 0   ( y 2 - x 2 ) = 0 z 2 - x y = 9

Passo 5

Agora vamos resolver o sistema:

Da primeira equação tiramos que

z = 0

Ou

x + 2 y = 0

x = - 2 y   ( 1 )

Mas, z = 0 não é solução, pois nosso ponto tem que ser pertencente ao semiespaço superior, ou seja, temos que ter z > 0 .

E da segunda equação tiramos que

z = 0

Que já sabemos que não é solução, ou

y + 4 x = 0

x = - y 4 ( 2 )

Igualando ( 1 ) e ( 2 ) tiramos que

y = 0

Assim,

x = 0

Substituindo isso na equanção da restrição, tiramos que

z = ± 3

Assim, temos os pontos

( 0,0 , 3 )

( 0,0 , - 3 )

Mas, como z > 0 , somente o ponto ( 0,0 , 3 ) pertence ao semiespaço superior.

Assim, a soma das coordenadas vale 3 .

Resposta

l e t r a   c

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