4. A temperatura em um ambiente com solo plano não depende da altura. Fixando no solo uma origem, o eixo x apontando para leste e o eixo y para norte, ela é dada por

T x , y = x - 2 y

  1. Use multiplicadores de Lagrange para encontrar dentre os pontos que distam 5 da origem, os de temperatura máximo e mínima?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? O problema nos forneceu uma superfície, onde a temperatura é função da sua posição no plano x y , dada por:

T x , y = x - 2 y

E pede para usarmos multiplicadores de Lagrange para encontrar as temperaturas de máximo e mínimo entre os pontos que distam 5 da origem.

Para quem não lembra, o método de Lagrange com uma restrição serve para nos ajudar a calcular máximos e mínimos de uma função de várias variáveis, mas não no domínio todo da função, e sim só no pedaço dela que respeita a restrição dada.

E repara que o problema dá uma restrição para a gente, ao dizer que os pontos distam 5 da origem (ou seja, em cima de uma circunferência de raio 5 ).

Ou seja, pra usar os multiplicadores de Lagrange, precisamos de 2 coisas: uma função que será T x , y pra maximizar ou minimizar, e uma restrição do tipo g x , y = 5 .

Geometricamente, isso significa que vamos procurar o máximo (ou mínimo) de T somente em cima da curva de equação g x , y = 5 , e não no domínio todo.

Bora lá!

Passo 2

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo sobre essa curva basta resolver o seguinte:

∇ T x , y = λ ∇ g x , y

Onde λ é uma incógnita (o famoso multiplicador de Lagrange!).

Assim, para achar os máximos e mínimos da função

T x , y = x - 2 y

Em cima da circunferência x 2 + y 2 = 5 , vamos começar calculando os gradientes de T e g .

Para achar ∇ T x , y , vamos derivar:

∇ T x , y = 1 , - 2

Mas quem é g ( x , y ) ?

Passo 3

Então, galerinha, g é essa circunferência aí que ele nos deu

g x , y = x 2 + y 2 = 5

MAAAs temos que arrumar sua expressão para que o lado esquerdo seja igual a zero.

g x , y = x 2 + y 2 - 5 = 0

Assim

∇ g x , y = 2 x ,   2 y

Agora sim, vamos usar o multiplicador de Lagrange.

Passo 4

Tinhamos que,

∇ f = λ ∇ g

⇒ 1 ,   - 2 = λ 2 x ,   2 y

Igualando termo a termo e adicionando a equação da curva de restrição, ficamos com o sistema

1 = λ 2 x - 2 = λ 2 y x 2 + y 2 = 5

Podemos dividir as duas primeiras equações uma pela outra, já que pelo próprio sistema, sabemos que 2 λ y ≠ 0 . Assim, chegamos a

x = - 2 y

Substituindo esse resultado na terceira equação, vemos que

y = ± 1

Logo:

x = ± 2

Então, galera, com esses valores de x e y, encontramos quatro pontos:

P 1 = 1,2   ; P 2 = 1 , - 2 ;   P 3 = - 1,2 ; P 4 = - 1 , - 2

Para saber quem é ponto de máximo e quem é ponto de mínimo, temos que substituir na expressão de T e ver seus valores.

Passo 5

Temos a seguinte equação,

T x , y = x - 2 y

Para o ponto P 1 = 1,2 , temos

T x , y = 1 - 2 2 = - 3

Para o ponto P 2 = 1 , - 2 , temos

T x , y = 1 - 2 - 2 = + 5

Para o ponto P 3 = - 1,2 , temos

T x , y = - 1 - 2 2 = - 5

Para o ponto P 4 = - 1 , - 2 , temos

T x , y = - 1 - 2 - 2 = + 3

Logo, P 2 é o ponto cuja temperatura é máxima e P 3 é o ponto cuja temperatura é mínima.

Resposta

  • Temperatura máxima: P 2 = 1 , - 2
  • Temperatura mínima: P 3 = - 1,2

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