Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Seja f x , y = x 2 - y 2 e D o domínio dado por x 4 + x 2 y 2 + y 4 ≤ 1 . Então

  1. Ambos os valores de máximo e mínimo de f ( x , y ) em D ocorrem no interior de D .
  2. O valor máximo de f ( x , y ) em D ocorre na fronteira de D e o valor mínimo de f ( x , y ) em D ocorre no interior de D
  3. O valor mínimo de f ( x , y ) em D ocorre na fronteira de D e o valor máximo de f ( x , y ) em D ocorre no interior de D
  4. Ambos os valores máximo e mínimo de f ( x , y ) em D ocorrem na fronteira de D
  5. Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Seguinte! Vou fazer essa questão de duas formas diferentes! Uma bem rapidinha mas que tem que pensar um pouco. Outra super demorada que é só aplicar fórmula haha! Vamos lá:

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo globais de uma função com restrição o processo é sempre o mesmo: Verificar se há um ponto crítico dentro da região, e verificar se há máximos e mínimos na fronteira da região.

Verificando pontos críticos dentro da região:

f x , y = x 2 - y 2  

f x x , y = 2 x

f y x , y = - 2 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como nos pontos críticos temos as derivadas nulas, então

2 x = 0 → x = 0

- 2 y = 0 → y = 0

Logo, temos um único ponto crítico:

P 0 = 0,0

E se você reparar, esse ponto está dentro do domínio, pois se a gente substituir ele na equação de D , vemos que não chegamos a nenhum absurdo matemático.

Vamos guardar ele então.

Passo 3

É agora que entra a malandragem! Sabemos que o máximo e o mínimo vão estar ou dentro da região ou na fronteira. Então vamos “andar” um pouquinho pros lados desse ponto e ver o que acontece:

0,0 → x 2 - y 2 = 0

0.1,0 → x 2 - y 2 = 0.01 > 0

0,0.1 → x 2 - y 2 = - 0.01 < 0

Percebeu? 0.1,0 e 0,0.1 se encontram dentro de D ! E um desses pontos tem valor maior que em 0,0 e o outro tem valor menor que em 0,0 . Então com certeza 0,0 não é ponto de máximo nem de mínimo! Isso já nos diria que a correta é a letra d !

Agora se você acha que não vai conseguir pensar nisso na hora da prova vamos para o jeito mais mecânico, achar de fato os máximos e mínimos!

Passo 4

Agora precisamos olhar os pontos que estão na fronteira da região D . Ou seja, os pontos que estão sobre

x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 1

Isso não é um quadrado, nem retângulo, nem triangulo, nem nada que a gente possa pegar os vértices e tal. Mas conhecemos outra forma de descobrir os candidatos a máximo e mínimo em cima de uma restrição: Multiplicadores de Lagrange!!

Vamos usá-lo então

Passo 5

Jogando tudo para a esquerda e chamando de g ( x , y ) , temos:

g x , y = x 4 + x 2 y 2 + y 4 - 1 = 0

O gradiente disso é:

∇ g = 4 x 3 + 2 x y 2 ,   4 y 3 + 2 x 2 y

Passo 6

O gradiente de f nós já temos:

∇ f = ( 2 x , - 2 y )

Agora é só aplicar Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

2 x , - 2 y = λ 4 x 3 + 2 x y 2 ,   4 y 3 + 2 x 2 y

Igualando cada coordenada e acrescentado a equação da restrição, teremos:

2 x = λ ( 4 x 3 + 2 x y 2 ) - 2 y = λ ( 4 y 3 + 2 x 2 y ) x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 1  

Passo 7

Vamos dar uma manipulada na primeira equação:

2 x = λ ( 4 x 3 + 2 x y 2 )

2 λ x 2 x 2 + y 2 - 2 x = 0

2 x λ 2 x 2 + y 2 - 1 = 0

Uma das maneiras de isso ser satisfeito é se x = 0 . Nesse caso:

x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 1

0 + 0 + y 4 = 1

y = ± 1

Substituindo esses pontos na segunda equação:

- 2 y = λ 4 y 3 + 2 x 2 y

- 2 1 = λ 4 1 3 + 0

- 2 = 4 λ

λ = - 1 2

- 2 y = λ 4 y 3 + 2 x 2 y

- 2 - 1 = λ 4 - 1 3 + 0

2 = - 4 λ

λ = - 1 2

Show, temos 2 pontos críticos:

0 , ± 1

Passo 8

Vamos checar a outra forma disso aqui ser verdadeiro:

2 x λ 2 x 2 + y 2 - 1 = 0

É se λ 2 x 2 + y 2 = 1 !

Considerando que x ≠ 0 (porque testamos quando ele é 0 ), podemos passar tudo pro outro lado dividindo:

λ = 1 2 x 2 + y 2

Substituindo na segunda equação:

- 2 y = 4 y 3 + 2 x 2 y 2 x 2 + y 2

- 4 x 2 y - 2 y 3 = 4 y 3 + 2 x 2 y

6 y 3 + 6 x 2 y = 0

y 3 + x 2 y = 0

y y 2 + x 2 = 0

Essa equação por sua vez é válida para:

y = 0

o u

y 2 + x 2 = 0

Caso y = 0 :

x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 1

x 4 = 1

x = ± 1

Substituindo em λ :

λ = 1 2

Show, temos mais dois pontos!

± 1,0

Pra finalizar, temos que analisar o caso onde y 2 + x 2 = 0 ! Calma que ta acabando!

x = y = 0

Como:

λ = 1 2 x 2 + y 2

Não podemos ter x = y = 0 . Então esse caminho não vai trazer solução pra gente!

Passo 9

Ufa! Então nossos pontos críticos são:

0,0

± 1,0

0 , ± 1

Sendo que o primeiro está no interior de D e os outros 4 estão em cima de D !

Vamos substituir eles na equação e ver qual é o máximo e qual o mínimo:

0,0 → x 2 - y 2 = 0 - 0 = 0

± 1,0 → x 2 - y 2 = 1 - 0 = 1

0 , ± 1 → x 2 - y 2 = 0 - 1 = - 1

Então descobrimos que tanto o máximo quanto o mínimo se encontram na fronteira de D ! Letra d !

Resposta

Letra d

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