Determine o ponto do elipsoide

4 x 2 + 9 y 2 + 36 z 2 = 36

mais próximo da origem.

Passo 1

A função a ser minimizada é o a distância de um ponto até a origem, ou seja:

D x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Jogada de mestre: minimizar a função distância, é equivalente a minimizar o quadrado da função distância, isto é:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Basta minimizar essa função para pontos restritos ao elipsoide

4 x 2 + 9 y 2 + 36 z 2 = 36

Passo 2

Calcular gradiente da função:

∇ f x , y , z = 2 x ,   2 y ,   2 z

Passo 3

Pegar equação da superfície e jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar zero no lado direito:

Equação da superfície:

4 x 2 + 9 y 2 + 36 z 2 = 36

⇒ 4 x 2 + 9 y 2 + 36 z 2 - 36 = 0

Passo 4

Definir função g x , y , z sendo o lado esquerdo da equação acima:

g x , y , z = 4 x 2 + 9 y 2 + 36 z 2 - 36

Passo 5

Calcular gradiente de g x , y , z :

∇ g x , y , z = 8 x , 18 y , 72 z

Passo 6

Utilizar multiplicador de Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

⇒ 2 x ,   2 y ,   2 z = λ 8 x , 18 y , 72 z

Passo 7

Igualar coordenadas, adicionar a equação da restrição e encontrar o sistema:

2 x = 8 x λ   2 y = 18 y λ   2 z = 72 z λ   4 x 2 + 9 y 2 + 36 z 2 = 36

Passo 8

Resolver o sistema:

Pela primeira equação temos que ou

x = 0

Ou

λ = 1 4

Da segunda equação temos que ou

y = 0

Ou

λ = 1 9

E da terceira equação temos que ou

z = 0

Ou

λ = 1 36

Repere que cada um desses valores de λ não atende as demais equações, a não ser que consideremos a solução das outras duas variáveis serem nulas.

Assim, temos três casos:

  • λ = 1 4   e   y = z = 0
  • λ = 1 9   e   x = z = 0
  • λ = 1 36   e   y = x = 0
  • Vamos analisar cada um separadamente.

    Passo 9

  • Primeiro o caso λ = 1 4   e   y = z = 0 :
  • Substituindo y = z = 0 na equação da restrição, encontramos que

    4 x 2 + 0 + 0 = 36

    x 2 = 9

    x = ± 3

    E temos os pontos ( 0,0 , ± 3 ) .

  • Agora o caso λ = 1 9   e   x = z = 0 :
  • Substituindo x = z = 0 na equação da restrição, encontramos que

    0 + 9 y 2 + 0 = 36

    y 2 = 4

    y = ± 2

    E temos os pontos ( 0 , ± 2,0 ) .

  • E, por fim, o caso λ = 1 36   e   y = x = 0

Substituindo x = y = 0 na equação da restrição, encontramos que

0 + 0 + 36 z 2 = 36

z 2 = 1

z = ± 1

E temos os pontos ( 0,0 , ± 1 ) .

Passo 9

Agora precisamos saber os pontos que minimizam nossa função, lembrando que

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Se você reparar, como essa função é a soma de termos elevados ao quadrado, dentre nossos pontos candidatos, aqueles que vão minimizar essa função, que é a função distancia ao quadrado, e consequentemente vão minimizar a função distância, são aqueles pontos que tiverem valores das coordenadas mais baixos, em módulo.

E, no caso, esses pontos são:

( 0,0 , ± 1 )

Resposta

( 0,0 , ± 1 )

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