Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

O valor mínimo absoluto da função f x , y = x y 4 na região D = { x , y ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 5 } é:

  1. - 16
  2. - 20
  3. Nenhuma das demais alternativas
  4. - 9
  5. - 10

Passo 1

O enunciado pede um mínimo absoluto em uma região. Toda vez que uma questão pedir isso, a gente vai precisar verificar os pontos críticos dentro da região e os máximos e mínimos na fronteira da região.

Como ele quer minimizar f x , y = x y 4 , vamos encontrar e analisar os pontos críticos dessa função que satisfazem essa inequação: x 2 + y 2 ≤ 5 . Porque ela define o domínio da região. Então esses vão ser os pontos dentro da região.

Depois, a gente precisa verificar os pontos na fronteira. Como a nossa fronteira está totalmente definida por uma equação ( x 2 + y 2 = 5 ), podemos usar os multiplicadores de Lagrange para achar outros pontos.

No final comparamos todos os pontos e vemos qual é o menor já que queremos o mínimo absoluto.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para achar os pontos críticos de f x , y = x y 4 , precisamos calcular suas derivadas parciais e igualar cada uma a zero, formando um sistema para gente resolver.

f x = y 4

f y = 4 x y 3

y 4 = 0

4 x y 3 = 0

Da primeira equação, y = 0 . Na segunda, percebemos que independente de x , se y = 0 , f y sempre zera. Então a solução da equação é o conjunto de pontos ( x , 0 ) dentro de x 2 + y 2 ≤ 5 .

Passo 3

Vamos tentar classificar esses pontos, usando o determinante Hessiano:

H x , 0 = f x x f x y f y x f y y

f x x = 0 ,     f x y = f y x = 4 y 3 ,     f y y = 12 x y 2

H x , 0 = 0 4 ⋅ 0 3 4 ⋅ 0 3 12 ⋅ 0 x = 0

Ih deu zero. Então a gente não pode afirmar nada, não é? Mas não vamos desanimar. Como a gente sabe que ( x , 0 ) são pontos críticos da função, vamos guardar eles para testar no final qual ponto (entre pontos dentro da região e na fronteira) vai resultar no menor valor de f x , y .

Passo 4

Já analisamos dentro da região, agora a gente vai para a fronteira. Ela está definida por x 2 + y 2 = 5 . Que vai ser nossa restrição da função para usarmos Lagrange. Podemos fazer:

x 2 + y 2 = 5 ∴ x 2 + y 2 - 5 = 0 ∴ g x , y = x 2 + y 2 - 5

∇ g x , y = 2 x ,   2 y

Sabemos que:

∇ f x , y = y 4 ,   4 x y 3

Podemos então usar então o multiplicador de Lagrange para montar um sistema:

∇ f x , y = λ ∇ g x , y

y 4 ,   4 x y 3 = λ 2 x ,   2 y

Nosso sistema fica com essa carinha (vamos colocar a equação da restrição no sistema também):

y 4 = λ 2 x 4 x y 3 = λ 2 y x 2 + y 2 = 5

Passo 5

Então, para esse tipo de sistema cheio de termos elevados e produtos, uma coisa legal é tentar ver se a gente consegue fazer aparecer termos iguais nas duas primeiras equações multiplicando elas por uma variável. Olha só o que acontece se multiplicarmos a de cima por x e a de baixo por y :

x y 4 = λ 2 x 2 4 x y 4 = λ 2 y 2 x 2 + y 2 = 5

Não apareceu o termo x y 4 nas duas? Então a gente pode isolar ele:

x y 4 = λ 2 x 2

x y 4 = λ y 2 2

Vamos igualar essas expressões para ver no que dá:

λ 2 x 2 = λ y 2 2 ∴ x 2 = y 2 4

Achamos uma relação entre x e y . Podemos jogar na terceira equação para achar valores para x e y :

x 2 + y 2 = 5

y 2 4 + y 2 = 5 ∴ 5 4 y 2 = 5 ∴ y 2 = 4 ∴ y = ± 2

Pela relação entre x e y :

x = ± 1

Achamos quatro pontos:

1,2 ,   - 1 , - 2 , - 1,2 , ( 1 , - 2 )

Passo 6

Por fim, a gente tem esses pontos:

± 1 ,   ± 2 ,   ( x , 0 )

Vamos testar eles em f ( x , y ) e vê o menor valor que ela pode atingir:

f x , 0 = x ⋅ 0 4 = 0

f 1,2 = 1 ⋅ 2 4 = 16

f - 1,2 = - 1 ⋅ 2 4 = - 16

f 1 , - 2 = 1 ⋅ ( - 2 ) 4 = 16

f - 1 , - 2 = - 1 ⋅ - 2 4 = - 16

Com isso, o menor valor que a função atinge é - 16 . Que é nossa letra a.

Resposta

Letra a

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