24. Encontre os extremantes da função objetivo f no conjunto admissível (conjunto que satisfaz a restrição). Encontre também, se houver, os extremantes de f em R 3 .

f x , y = x 2 + y 2 , sujeito à 5 x 2 + 6 x y + 5 y 2 ≤ 8 .

Passo 1

Vamos começar encontrando os extremantes de f no conjunto admissível: 5 x 2 + 6 x y + 5 y 2 ≤ 8 .

Vamos calcular gradiente da função:

∇ f x , y = 2 x , 2 y  

O único ponto crítico da função é P 0 = 0,0

Passo 2

Agora vamos pegar a equação da curva e jogar tudo para o lado esquerdo, deixando zero no lado direito:

5 x 2 + 6 x y + 5 y 2 - 8 = 0

Portanto:

g x , y = 5 x 2 + 6 x y + 5 y 2 - 8

Passo 3

Calcular gradiente de g x , y , z

∇ g x , y = 10 x + 6 y , 10 y + 6 x

Passo 4

Utilizar multiplicador de Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

⇒ 2 x , 2 y = λ 10 x + 6 y , 10 y + 6 x

Igualando termo a termo:

2 x = λ 10 x + 6 y 2 y = λ 10 y + 6 x

Passo 5

Adicionar a equação da curva ao sistema encontrado acima

Equação da curva: 5 x 2 + 6 x y + 5 y 2 = 8

Adicionando ao sistema encontrado acima:

2 x = λ 10 x + 6 y 2 y = λ 10 y + 6 x 5 x 2 + 6 x y + 5 y 2 = 8

Passo 6

Agora vamos resolver as equações. Fazendo a segunda equação menos a primeira, temos:

2 y - x = λ 4 y - 4 x  

y - x = 2 λ y - x

Então temos:

y - x 1 - 2 λ = 0

Temos dois casos:

  • Caso 1:
  • x = y

    Da terceira equação temos:

    5 x 2 + 6 x 2 + 5 x 2 = 8

    x 2 = 1 2

    x = ± 2 2

    Portanto, temos os pontos:

    P 1 = 2 2 , 2 2   ; P 2 = - 2 2 , - 2 2  

  • Caso 2:

λ = 1 2

Da primeira equação, temos:

2 x = 1 2 10 x + 6 y

Logo:

x = - y

Da terceira equação:

5 y 2 - 6 y 2 + 5 y 2 = 8

y 2 = 2

y = ± 2

Logo, temos os pontos:

P 3 = 2 , - 2   ; P 4 = - 2 , 2

Passo 7

Então:

f P 0 = 0

f P 1 = 1

f P 2 = 1

f P 3 = 4

f P 4 = 4

Logo, a função f x , y = x 2 + y 2 , sujeito à 5 x 2 + 6 x y + 5 y 2 ≤ 8 , tem ponto de mínimo f = 0 em 0,0 , e tem ponto de máximo f = 4 em 2 , - 2   ; - 2 , 2 .

Passo 8

Sem a restrição, o único ponto crítico de f é 0,0 , que é um ponto de mínimo local e global pois f 0,0 = 0 e f x , y = x 2 + y 2 ≥ 0 .

Resposta

Mínimo de f = 0 em 0,0 ; Máximo de f = 4 em 2 , - 2   e - 2 , 2 . Sem a restrição, o único ponto crítico de f é 0,0 , que é um ponto de mínimo global.

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(a) Se seu sistema de computação algébrica traça o gráfico de curvas definidas implicitamente, use-o para estimar os valores mínimo e máximo de f x ,   y = x 3 + y 3 + 3 x y sujeit...