Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita a restrição dada:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

x 4 + y 4 + z 4 = 1

Passo 1

Para usar os multiplicadores de Lagrange, a primeira coisa que temos que fazer é calcular os gradientes.

Vamos começar com o gradiente da função:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

∇ f x , y , z = 2 x ,   2 y ,   2 z

Passo 2

Agora vamos pegar a equação da superfície e jogar tudo para o lado esquerdo e deixar zero no lado direito. Essa será nossa função g ( x , y , z ) :

g x , y , z = x 4 + y 4 + z 4 - 1 = 0

Seu gradiente vai ficar:

∇ g x , y , z = ( 4 x 3 , 4 y 3 , 4 z 3 )

Passo 3

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z

⇒   2 x ,   2 y ,   2 z = λ 4 x 3 , 4 y 3 , 4 z 3

Igualando termo a termo e adicionando a equação da superfície de restrição, ficamos com o sistema

2 x = λ 4 x 3 1 2 y = λ 4 y 3 2 2 z = λ 4 z 3 3 x 4 + y 4 + z 4 = 1 4

Passo 4

Resolvendo o sistema, pela equação ( 1 ) temos, para x ≠ 0 :

λ 4 x 3 2 x = 1

2 λ x 2 = 1

x = ± 1 2 λ

Pela equação ( 2 ) , assumindo y ≠ 0 , fazendo a mesma coisa, chegamos em:

y = ± 1 2 λ

E, pela terceira equação, fazendo também a mesma coisa, ficamos com:

z = ± 1 2 λ

Passo 5

Agora, podemos substituir os valores de x , y , z em função de λ na equação da restrição:

x 4 + y 4 + z 4 = 1

± 1 2 λ 4 + ± 1 2 λ 4 + ± 1 2 λ 4 = 1

1 2 λ 2 + 1 2 λ 2 + 1 2 λ 2 = 1

1 4 λ 2 = 1 3

4 λ 2 = 3

λ = ± 3 4 = ± 3 2

Passo 6

Substituindo o valor de λ , podemos agora encontrar os valores de x , y , z , pois

x = ± 1 2 λ

⇒ x = ± 1 2 3 2 = ± 1 3 = ± 1 3 4

O mesmo vale pro y e pro z , assim

y = ± 1 3 4

z = ± 1 3 4

Temos, portanto, 2 pontos candidatos: os pontos

P 1 = 1 3 4 , 1 3 4 , 1 3 4

P 2 = - 1 3 4 , - 1 3 4 , - 1 3 4

Passo 7

Agora, antes de a gente testar esses candidatos na função, vamos lembrar que chegamos a eles a partir da suposição de que x ≠ 0 , y ≠ 0 e z ≠ 0 .

Assim, temos a possibilidade de termos x = y = z = 0 .

Mas, esse ponto não pertence a restrição

x 4 + y 4 + z 4 = 1

Logo, ele não é um candidato.

Além disso, podemos ainda considerar as situações em que só uma das variáveis é igual a zero e as outras duas são diferentes de zero e, também, a situação em que duas das variáveis são iguais a zero e a terceira é diferente de zero.

Nesses casos, chegaremos a pontos candidatos que, certamente, nos darão valores para a função

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Menores do que os pontos que já achamos.

Isso porque nossa função é a soma de elementos elevados ao quadrado. O valor máximo dela será quando todos esses elementos valerem alguma coisa (que é o caso de P 1 e P 2 ) e o valor mínimo dela será quando dois desses elementos valerem zero. Assim, vamos considerar apenas o caso em que duas variáveis são nulas e uma é diferente de zero.

Passo 8

Vamos lá:

Se tivermos x = y = 0 , com as z diferente de zero, a equação da restrição fica:

x 4 + y 4 + z 4 = 1

0 4 + 0 4 + ± 1 2 λ 4 = 1

1 2 λ 2 = 1

1 4 λ 2 = 1

4 λ 2 = 1

λ = ± 1 4 = ± 1 2

Substituindo o valor de λ , podemos agora encontrar o valor de z , pois

z = ± 1 2 λ

⇒ z = ± 1 2 1 2 = ± 1 1 = ± 1

Assim, temos os candidatos

P 3 = 0 , 0 , 1

P 4 = 0,0 , - 1

Passo 9

Como no passo 4 achamos que x , y , z valem a mesma coisa, considerando todos diferentes de zero, se fizermos as contas considerando y = z = 0 e x ≠ 0 ou z = x = 0 e y ≠ 0 , chegaremos em algo parecido com o que achamos no passo anterior. Assim, teremos mais quatro candidatos:

P 5 = 1 , 0 , 0

P 6 = - 1,0 , 0

P 7 = 0 , 1 , 0

P 8 = 0 , - 1 , 0

Passo 10

Vamos agora testar na função pra saber qual o valor máximo e mínimo dela.

Nossa função é

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

No ponto P 1 e P 2 :

f ±   1 3 4 , ±   1 3 4 , ± 1 3 4 = ±   1 3 4 2 + ±   1 3 4 2 + ±   1 3 4 2 = 3 3 2

No ponto P 3 e P 4 :

f 0,0 , ± 1 = 0 2 + 0 2 + ( ± 1 ) 2 = 1

E o mesmo vale para os pontos P 5 e P 6 e P 7 e P 8 .

Assim, o valor máximo da nossa função ocorre nos pontos P 1 e P 2 e é 3 2 e o valor mínimo da nossa função ocorre nos pontos P 3 ,   P 4 ,   P 5 ,   P 6 ,     P 7   e   P 8   e é 1 .

Resposta

O valor máximo da função é 3 2 e o valor mínimo da função é 1 .

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(a) Se seu sistema de computação algébrica traça o gráfico de curvas definidas implicitamente, use-o para estimar os valores mínimo e máximo de f x ,   y = x 3 + y 3 + 3 x y sujeit...