(Capítulo 14.8 – Exercício 9) Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f x , y , z = x y z

x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 6

Passo 1

A questão pede para acharmos os extremos da função f sujeita a restrição dada. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange!

A restrição pode ser escrita como

g x , y , z = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - 6

Assim, os candidatos a extremos do problema devem satisfazer a equação

∇ f = λ   ∇ g

Calculando os gradientes:

∇ f = ( y z , x z , x y )

∇ g = ( 2 x , 4 y , 6 z )

Então boraaa

Passo 2

Temos que resolver essa equação:

( y z , x z , x y ) = λ ( 2 x , 4 y , 6 z )

Desta forma,

y z = λ . 2 x x z = λ . 2 y x y = λ . 6 z

Isolando   λ   , obtemos

λ = y z 2 x = x z 4 y = x y 6 z

De y z 2 x = x z 4 y , temos 2 y 2 = x 2

De x z 4 y = x y 6 z , temos z 2 = 2 y 2 3

Substituindo ambos na restrição, achamos y = ± 1 . Qualquer que seja o sinal de y , teremos x = ± 2 e z = ± 2 3 .

Os possíveis extremos são 2 , ± 1 , 2 3 , 2 , ± 1 , - 2 3 , - 2 , ± 1 , 2 3   e - 2 , ± 1 , - 2 3

Como f é o produto das 3 coordenadas, f é máxima se todas as coordenadas forem positivas ou se exatamente duas forem negativas, e é mínima se todas ou somente uma coordenada for negativa.

E fimmm!

Resposta

2 , ± 1 , 2 3 , 2 , ± 1 , - 2 3 , - 2 , ± 1 , 2 3   e - 2 , ± 1 , - 2 3

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14. Utilize os Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). 14 )f x 1 ,x 2 , … , x n = x 1 + x 2 + … + x n ; x 1 2 + x 2 2 + …
(a) Se seu sistema de computação algébrica traça o gráfico de curvas definidas implicitamente, use-o para estimar os valores mínimo e máximo de f x ,y = x 3 + y 3 + 3 x y sujeita a x - 3 2 + y - 3 2 =
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