Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

UFRJ, Cálculo 2, P2 2015.2, questão 15

Sejam a , b , c três números arbitrários tais que a soma vale 12 . O menor valor possível para a 2 + b 2 + c 2 4 é :

  1. 72
  2. 16
  3. 48
  4. 24
  5. Não sei

Passo 1

Vamos usar os multiplicadores de Lagrange para resolver essa questão. A função é f a , b , c = a 2 + b 2 + c 2 4 , a restrição é a + b + c = 12

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando os gradientes, temos:

∇ f a , b , c = 2 a , 2 b , c 2

Vamos definir:

g a , b , c = a + b + c - 12

Logo:

∇ g a , b , c = 1,1 , 1

Passo 3

Usando os multiplicadores de Lagrange, temos o seguinte sistema de equações:

2 a = λ 2 b = λ   c 2 = λ a + b + c = 12

Temos então:

a = λ 2   ,   b = λ 2 ,   c = 2 λ

Substituindo na quarta equação:

λ 2 + λ 2 + 2 λ = 12

λ = 4

Então a = 2 ,   b = 2 ,   c = 8

A função vale:

f 2,2 , 8 = 4 + 4 + 16 = 24

Passo 4

A gente pode confirmar que esse é um ponto de mínimo pegando qualquer outro ponto e comparando, por exemplo o ponto a = 12 ,   b = c = 0 .

O valor de f é 144 , maior que o valor 24 encontrado. Logo, o ponto é de mínimo.

Resposta

d) 24

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