Determine o ponto da reta x + 2 y = 1 cujo produto das coordenadas seja máximo.

Passo 1

A função a ser maximizada é o produto das coordenadas, ou seja:

f x , y = x y

Passo 2

Calcular gradiente da função:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Fazendo as derivadas parciais, vamos ter

∇ f x , y = y ,   x

Passo 3

Pegar equação da reta e jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar zero no lado direito:

Equação da curva:

x + 2 y = 1

⇒ x + 2 y - 1 = 0

Passo 4

Definir função g x , y sendo o lado esquerdo da equação acima:

g x , y = x + 2 y - 1

Passo 5

Calcular gradiente de g x , y :

∇ g x , y = 1 ,   2

Passo 6

Utilizar multiplicador de Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

⇒ y ,   x = λ 1 ,   2

Passo 7

Igualar coordenadas e encontrar sistema:

y = λ 1   x = λ 2

Passo 8

Adicionar a equação da curva ao sistema encontrado acima:

Equação da curva: x + 2 y = 1

y = λ   x = 2 λ   x + 2 y = 1

Passo 9

Resolver o sistema:

Pelas duas primeiras equações:

2 λ = 2 y = x

⇒ x = 2 y

Substituindo na terceira equação:

x + 2 y = 1

⇒ 2 y + 2 y = 1

⇒ 4 y = 1

⇒ y = 1 4

Substituindo para encontrar x :

x = 2 y

⇒ x = 2 1 4

⇒ x = 1 2

Logo, o ponto que maximiza o produto das coordenadas é

1 2 , 1 4

Resposta

1 2 , 1 4

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