Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Encontre os extremantes da função objetivo f no conjunto admissível (conjunto que satisfaz a restrição). Encontre também, se houve, os extremantes de f em ℝ²

f x , y = y 2 - x 2 , sujeito à x 2 + y 2 ≤ 4 .

Passo 1

Vamos começar encontrando os extremantes de f no conjunto admissível: x 2 + y ² ≤ 4

Vamos calcular gradiente da função:

∇ f x , y = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y )  

∇ f x , y = ( - 2 x , 2 y )

O único ponto crítico da função P 0 = 0 , 0 .

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Passo 2

Agora vamos pegar a equação da curva e jogar tudo para o lado esquerdo, deixando zero no lado direito:

x 2 + y 2 - 4 = 0

Vamos chamar de g ( x , y ) e calcular o gradiente:

g x , y = x 2 + y 2 - 4

∇ g x , y = ( 2 x , 2 y )

Passo 3

Vamos utilizar o multiplicador de Lagrange:

∇ f x , y = λ ∇ g x , y

- 2 x , 2 y = λ ( 2 x , 2 y )

Montando o sistema junto da equação da curva:

- 2 x =   λ 2 x 2 y =   λ 2 y x 2 + y 2 = 4

Eu sei que a vontade de cortar o x e o y ali nas primeiras equações é grande, mas não podemos pois x   e   y podem ser iguais a 0. Como nós já estamos considerando um ponto crítico P 0 = 0,0 , nós teremos então duas situações:

  • x ≠ 0   e   y = 0
  • x = 0   e   y ≠ 0

Passo 4

Vamos para a primeira condição.

Se x ≠ 0   e   y = 0 , vamos jogar na terceira equação:

x 2 + y 2 = 4

x 2 + 0 2 = 4

x 2 = 4

x = ± 2

Com isso, teremos os pontos críticos P 1 = 2 , 0 e P 2 = - 2 , 0 .

Passo 5

Vamos para a próxima condição.

Se x = 0   e   y ≠ 0 , vamos jogar na terceira equação:

x 2 + y 2 = 4

0 2 + y 2 = 4

y 2 = 4

y = ± 2

Com isso, teremos os pontos críticos P 3 = 0 , 2 e P 4 = 0 , - 2

Passo 6

Show, vamos juntar todos os pontos encontrados:

P 0 = 0,0

P 1 = 2,0

P 2 = - 2,0

P 3 = 0,2

P 4 = 0 , - 2

Jogando os pontos na função:

f P 0 = 0

f P 1 = - 4

f P 2 = - 4

f P 3 = 4

f P 4 = 4

Logo, a função f x , y = y 2 - x 2 , sujeito à x 2 + y 2 ≤ 4 terá:

Pontos mínimo ⇨ f P 1 = f P 2 =   - 4

Pontos máximos ⇨ f P 3 = f P 4 =   4

Passo 7

Sem a restrição, o único ponto crítico de f é ( 0,0 ) .

Sabemos que f P 0 = 0 , porém se pegarmos um ponto qualquer da forma ( 0 , y ) , por exemplo ( 0,1 ) , a função assume valores positivos:   f 0 , 1 = 1 . Logo P 0 = 0,0   não pode ser ponto de máximo global, pois f 0,0 < f ( 0 , 1 ) .

Além disso, perceba que se pegarmos um ponto da forma   ( x , 0 ) , por exemplo ( 1 , 0 ) , a função irá assumir valores negativos:   f 1 , 0 = - 2 . . Logo P 0 = 0,0 não pode ser ponto de mínimo global, pois f 0,0 > f ( 1 , 0 ) .

Logo, a função não possui pontos de máximos e mínimos globais em seu domínio,   P 0 = 0,0   é ponto de sela.

Resposta

Mínimo de f = - 4 em ± 2,0

Máximo de f = 4 em 0 , ± 2

Sem a restrição, o único ponto crítico de f é ( 0,0 ) , que é ponto de sela.

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