Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 9, Questão 34

34. Obtenha o ponto da elipse 4 x 2 + y 2 = 4 situado no 1° quadrante, no qual a tangente à curva forma com os eixos coordenados o triângulo de menor área possível. Calcule essa área mínima.

Passo 1

Vamos começar parametrizando a elipse.

4 x 2 + y 2 = 4

x 2 + y 4 2 = 1

Parametrizando:

σ θ = c o s θ , 2 s e n θ   0 θ π / 2

Pois o ponto pertence ao primeiro quadrante.

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Passo 2

Vamos encontrar o vetor tangente:

σ ' θ = - s e n θ , 2 c o s θ   0 θ π / 2

Passo 3

Agora suponha que temos um ponto qualquer no primeiro quadrante:

x 0 , y 0

A gente vai precisar encontrar o valor do vetor tangente nesse ponto. Faremos assim:

x 0 = c o s θ 0

y 0 = 2 s e n θ 0

Temos então:

s e n θ 0 = y 0 2   ;   c o s θ 0 = x 0  

Passo 4

Agora a gente substitui no vetor tangente para encontrar seu valor no ponto x 0 , y 0 :

σ ' θ 0 = - s e n θ 0 , 2 c o s θ 0   0 θ 0 π / 2

σ ' x 0 , y 0 = - y 0 2 , 2 x 0  

Passo 5

A gente já tem o valor do vetor tangente em um ponto e temos os valores das coordenadas nesse ponto, então podemos encontrar a equação da reta tangente. Fica:

r t g t = x 0 - y 0 2 t , y 0 + 2 x 0 t

Passo 6

Repare que o triângulo retângulo tem catetos de comprimentos x c no ponto x c   ,   0 e comprimento y c no ponto 0 , y c . Vamos encontrar x c e y c em função de x 0 , y 0 . Temos:

  • Ponto x c   ,   0 :
  • Igualando as coordenadas vai ficar:

    x 0 - y 0 2 t c 1 = x c

    y 0 + 2 x 0 t c 1 = 0

    Da segunda equação, temos:

    t c 1 = - y 0 2 x 0

    Substituindo na primeira equação:

    x c = x 0 - y 0 2 - y 0 2 x 0 = x 0 + y 0 2 4 x 0 = 4 x 0 2 + y 0 2 4 x 0

    O ponto x 0 , y 0 está sobre a elipse, logo 4 x 0 2 + y 0 2 = 4 , então:

    x c = 1 x 0

  • Ponto 0 , y c :

Igualando as coordenadas vai ficar:

x 0 - y 0 2 t c 2 = 0

y 0 + 2 x 0 t c 2 = y c

Da primeira equação, temos:

t c 2 = 2 x 0 y 0

Substituindo na segunda equação:

y c = y 0 + 2 x 0 2 x 0 y 0 = y 0 + 4 x 0 2 y 0 = y 0 2 + 4 x 0 2 y 0

O ponto x 0 , y 0 está sobre a elipse, logo 4 x 0 2 + y 0 2 = 4 , então:

y c = 4 y 0

Passo 7

A área do triângulo é dada por :

S = x c y c 2

Temos que minimizá-la. Então, dá no mesmo que minimizar f = x c y c . Substituindo:

m í n   f = 4 x 0 y 0 ,   x 0 0 , y 0 0

O que é o mesmo que minimizar f 2 . Ou seja, podemos minimizar 16 x 0 2 y 0 2 , que vamos encontrar os mesmos valores. Porém y 0 2 = 4 - 4 x 0 2 , substituindo:

min g x 0 = 16 x 0 2 4 - 4 x 0 2

Ajeitando:

g x 0 = 4 x 0 2 - x 0 4 - 1

Derivando e igualando a zero, encontramos:

g ' x 0 = - 1 4 x 0 2 - x 0 4 - 2 2 x 0 - 4 x 0 3 = 0

Temos duas possibilidades:

Caso 1:

x 0 2 - x 0 4 = 0

x 0 = 0 , x 0 = - 1 , x 0 = 1

Nenhum dos 3 valores é possível pois x 0 ,   x 0 ,   y 0 x 1

Caso 2:

2 x 0 - 4 x 0 3 = 0

2 x 0 1 - 2 x 0 2 = 0

x 0 = 0 ; x 0 = 2 2

Portanto x 0 = 2 2 e y 0 2 = 4 - 4 x 0 2 = 4 - 2 = 2  

x 0 = 2 2 ; y 0 = 2

Passo 8

A área mínima é:

S = x c y c 2 = 1 x 0 4 y 0 2 = 2

Resposta

O ponto é 2 2 , 2 , a área mínima do triângulo é 2

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