Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Cálculo 2 USP, PREC 2013, questão 4

Considere a função f : R 2 R dada por

f x , y = 2 a 3 y 3 + x 2 - 5 a 2 y 2 - 4 x + 3

para um real a 0 fixado.

a) Determine os pontos críticos de f e classifique-os, em função do parâmetro a .

b) Faça a = - 1 e determine o valor máximo e o valor mínimo de f em C = x , y R 2     2 x - 2 2 + y 2 4

Passo 1

a) Determinar pontos críticos? Deriva e iguala a 0 ! Vamos encontrar as derivadas da função?

Derivando em relação a x , teremos:

f x x , y = 2 x - 4

Derivando em relação a y , teremos:

f y x , y = 2 a y 2 - 5 a y

Show!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que resolver cada uma das equações

2 x - 4 = 0 2 a y 2 - 5 a y = 0

Para que a primeira se anule, vemos direto que:

2 x = 4

x = 2

Logo, a primeira coordenada nos nossos pontos críticos será 2 :D

Para que a segunda se anule, temos:

2 a y 2 - 5 a y = 0

Sabemos que a 0 . Por isso, podemos dizer que:

2 y 2 - 5 y = 0

Colocando y em evidência,

y 2 y - 5 = 0

E, assim, temos que ou y = 0 , ou y = 5 2 .

Portanto, os pontos críticos são 2,0 e 2 , 5 2 :D

Passo 3

Chegou a hora de classificar os pontos que encontramos! Para isso, precisamos das segundas derivadas e montar a hessiana.

Pegando o f x e derivando de novo em relação a x , teremos:

f x x , y = 2 x - 4

f x x = 2

Pegando o f y e derivando de novo em relação a y , teremos:

f y x , y = 2 a y 2 - 5 a y

f y y x , y = 4 a y - 5 a

Pegando o f x e derivando em relação a y para encontrar a derivada mista, temos:

f x x , y = 2 x - 4

f x y x , y = 0

E a hessiana fica:

H P = 2 0 0 4 a y - 5 a

Passo 4

Agora que temos a hessiana, podemos testar se o que os pontos encontrados são :D

Colocando o 2,0 , temos:

H P = 2 0 0 4 a . 0 - 5 a = - 10 a

No caso de a > 0 , 2,0 é ponto de sela. No caso de a < 0 , então 2,0 é ponto de mínimo, pois f x x é maior que 0 !

Passo 5

Para o ponto 2 , 5 2 , teremos:

H P = 2 0 0 4 a . 5 2 - 5 a = 10 a

Neste caso, se temos a > 0 , então 2 , 5 2 é ponto de mínimo pois f x x é maior que 0 , e, no caso de a < 0 , 2 , 5 2 é ponto de sela.

Passo 6

b) Verificar máximos e mínimos com restrição? Chegou a hora de mandar aquele LaGrange!

Como a região é 2 x - 2 2 + y 2 4 , temos que verificar se temos candidatos pontos críticos dentro dela. No caso, podemos escrevê-la como:

x - 2 2 + y 2 2 2

E esse é um círculo (preenchido) de raio 2 centrado em 2 , 1 2   .

Sendo assim, o ponto que vamos levar em conta como candidato é o 2,0 , que está dentro dessa região.

Passo 7

Agora, para aplicar Lagrange, precisamos dos vetores gradiente!

Como o enunciado pede pra colocarmos a = - 1 , então o vetor gradiente de f que era:

f x , y = 2 x - 4,2 a y 2 - 5 a y

fica

f x , y = 2 x - 4 , - 2 y 2 + 5 y

Show! Agora, precisamos encontrar o vetor gradiente da restrição, que podemos chamá-la de:

h x , y = 2 x - 2 2 + y 2 - 4

Para encontrá-lo, basta que derivemos essa equação:

h x = 4 x - 2

h y = 2 y

E o vetor é:

h x , y = 4 x - 2 , 2 y

Passo 8

Agora que temos os dois vetores, podemos dizer que eles são L I por LaGrange fazendo seu produto vetorial e igualando a 0 :

2 x - 4 - 2 y 2 + 5 y 4 x - 2 2 y = 0

Isso nos dá que:

2 y 2 x - 4 - 4 x - 2 - 2 y 2 + 5 y = 0

Podemos colocar x - 2 em evidência, fazendo:

4 y x - 2 - 4 x - 2 - 2 y 2 + 5 y = 0

E, assim, passando esse sinal de negativo pra dentro do - 2 y 2 + 5 y ,

4 x - 2 . 2 y 2 - 5 y + y = 0

4 x - 2 . 2 y 2 - 4 y = 0

Colocando, agora, y em evidência, temos:

4 x - 2 . y 2 y - 4 = 0

Beleza? Acho que não dá pra colocar mais nada em evidência XD

Passo 9

Agora que temos a equação do produto vetorial, vamos juntá-la com a equação da restrição num sistema:

4 x - 2 . y 6 - 2 y = 0 2 x - 2 2 + y 2 = 4

Da primeira, temos que, para dar 0 , ou x = 2 , ou y = 0 , ou y = 2 , certo? Para isso que sempre devemos colocar tudo o que pudermos em evidência! Facilita muito a vida depois ;)

Agora, vamos testar cada uma dessas soluções na equação da restrição (a de baixo).

Começando por x = 2 , teremos:

2 2 - 2 2 + y 2 = 4

y = ± 2

Assim, os pontos que temos são 2,2 e 2 , - 2 .

Passo 10

Testando agora com y = 0 na equação da restrição, teremos:

2 x - 2 2 + 0 2 = 4

x - 2 2 = 2

x - 2 = ± 2

x = ± 2 - 2

E os pontos que temos são: 2 + 2 , 0 e 2 - 2 , 0

Testando y = 2 , teremos, na equação da restrição:

2 x - 2 2 + 2 2 = 4

x - 2 2 = 0

x = 2

E os ponto candidato é 2,2 !

Passo 11

Show! Finalmente encontramos todas as possibilidades! Nossos pontos candidatos são:

2,0 2,2 2 , - 2 2 + 2 , 0 2 - 2 , 0  

Vamos ver qual valor a função assume para cada um deles? Lembrando que agora tomamos a = - 1 ,

Para 2,0 ,

f 2,0 = - 2 3 0 3 + 2 2 + 5 2 0 2 - 4.2 + 3 = - 1

Para 2,2 ,

f 2,2 = - 2 3 2 3 + 2 2 + 5 2 2 2 - 4.2 + 3 = - 16 3 + 9 = 11 3

Para 2 , - 2 ,

f 2 , - 2 = - 2 3 - 2 3 + 2 2 + 5 2 - 2 2 - 4 2 + 3 = 9 + 16 3 = 43 3

Para 2 + 2 , 0 ,

f 2 + 2 , 0 = - 2 3 0 3 + 2 + 2 2 + 5 2 0 2 - 4 2 + 2 + 3 =

4 + 4 2 + 2 - 8 - 4 2 + 3 = 1

Para 2 - 2 , 0 ,

f 2 - 2 , 0 = - 2 3 . 0 3 + 2 - 2 2 + 5 2 . 0 2 - 4 2 - 2 + 3 =

4 - 4 2 + 2 - 8 + 4 2 + 3 = 1

Assim, o ponto de mínimo é f 2,0 = - 1 e o de máximo é f 2 , - 2 = 43 3

Resposta

a) Se a > 0 , 2,0 é ponto de sela. Se a < 0 , 2,0 é ponto de mínimo. Se a > 0 , 2 , 5 2 é ponto de mínimo. Se a < 0 , 2 , 5 2 é ponto de sela.

b) Assim, o ponto de mínimo é f 2,0 = - 1 e o de máximo é f 2 , - 2 = 43 3

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