Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Cálculo 2 UFRJ, P2 2014.2, questão 1

Considere a função f x , y = y 3 3 - 9 y + x ²

(a) Determine e classifique os pontos críticos de f em todo o R ² .

(b) Determine os pontos de máximo e mínimo de f sobre a circunferência:

x 2 + y + 3 2 = 9

(c) Determine os valores máximo e mínimo de f no disco

D = x , y   : x 2 + y + 3 2 9

e os pontos onde estes valores ocorrem.

Passo 1

(a)

Assim que a gente vir essas palavrinhas mágicas, “classifique os pontos críticos”, o nosso reflexo tem que ser: calcular as derivadas parciais, igualá-las a 0 e depois mandar ver no teste da derivada segunda! Então vamos fazer isso, começando pelas derivadas parciais:

f x x , y = 0 - 0 + 2 x = 2 x

f y x , y = y 2 - 9 + 0 = y 2 - 9

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show! Agora vamos igualar essas derivadas a 0:

f x x , y = 0 f y x , y = 0  

Ou seja:

2 x = 0 x = 0 y 2 - 9 = 0 y = ± 3

Excelente! Isso nos dá os pontos críticos P 1 = 0,3 e P 2 = ( 0 , - 3 ) .

Passo 3

Agora só resta classificar esses pontos críticos, usando o teste da derivada segunda, então vamos calcular as derivadas segundas! Lembrando que f x x , y = 2 x e f y x , y = y 2 - 9 , vamos ter:

f x x x , y = 2

f y y x , y = 2 y - 0 = 2 y

E pras derivadas mistas:

f x y = f y x = 0

Passo 4

Pronto! Agora podemos aplicar o teste da derivada segunda :) O nosso determinante vai ser:

H x , y = f x x x , y f x y x , y f y x x , y f y y x , y = 2 0 0 2 y = 2.2 y - 0.0 = 4 y

E a gente tinha a achado os pontos críticos P 1 = 0,3 e P 2 = ( 0 , - 3 ) , né? Nesses pontos vamos ter:

H P 1 = 4 y = 4.3 = 12 > 0

E f x x 0,3 = 2 > 0 . Logo, o ponto P 1 é ponto de mínimo local!

E pro outro ponto:

H P 2 = 4 . - 3 = - 12 < 0

Logo, o ponto P 2 é ponto de sela!

Passo 5

(b)

Queremos os pontos de mínimo e máximo de f sobre o círculo x 2 + y + 3 2 = 9 . Com uma restrição desse tipo meu amigo, não tem erro, vamos de Lagrange!

Antes, só uma coisa: a equação de um círculo com centro em ( a , b ) e de raio r é x - a 2 + y - b 2 = r ² , certo? Então esse círculo tem centro em 0 , - 3 , que nada mais é que o ponto P 2 , e tem raio 3 . Vamos dar uma olhadinha nele:

Passo 6

Show, agora vamos aplicar nosso passo a passo de questão de Lagrange!

Já temos o gradiente da f , calculamos na letra (a):

f x , y = 2 x ,   y 2 - 9

Beleza, agora vamos pegar a equação do círculo e jogar tudo pro lado esquerdo, deixando 0 na direita:

x 2 + y + 3 2 - 9 = 0

E vamos chamar o lado esquerdo dessa equação de g :

g x , y = x 2 + y + 3 2 - 9

Agora vamos calcular as derivadas parciais da g :

g x x , y = 2 x + 0 - 0 = 2 x

E, usando a regra da cadeia:

g y x , y = 0 + 2 . y + 3 . 1 - 0 = 2 y + 6

Ou seja, o gradiente da g é:

g x , y = ( 2 x ,   2 y + 6 )

Passo 7

Excelente! Preparamos bem o terreno pros multiplicadores de Lagrange! Vamos ter:

f ( x , y ) = λ g ( x , y )

Também temos a equação do círculo, então o nosso sistema vai ficar assim:

2 x = λ 2 x ( 1 ) y 2 - 9 = λ 2 y + 6 ( 2 ) x 2 + y + 3 2 - 9 = 0 ( 3 )  

Passo 8

Bem, agora é arregaçar as mangas e partir pras contas!

Pela equação 1 , temos:

λ = 1     o u     x = 0

Se λ = 1 :

A equação ( 2 ) fica:

y 2 - 9 = 2 y + 6

  y 2 - 2 y - 15 = 0

  y = 2 ± - 2 2 - 4.1 . - 15 2.1 = 2 ± 64 2 = 2 ± 8 2 = 1 ± 4

Beleza, vamos testar esses dois casos:

  • Se y = 1 + 4 = 5 na equação ( 3 ) vamos ter:
  • x 2 + 8 2 - 9 = 0  

    x 2 = 9 - 64 = - 55

    o que é impossível! Então vamos descartar a possibilidade y = 5 .

  • Se y = 1 - 4 = - 3 a equação 3 vai ficar:

x 2 + 0 2 - 9 = 0

x 2 = 9

  x = ± 3

Beleza! Achamos mais 2 pontos, P 3 = ( 3 , - 3 ) e P 4 = ( - 3 , - 3 ) .

Passo 9

Ainda temos a outra possibilidade que a equação ( 1 ) nos deu, lembra?

Se x = 0 :

A equação ( 3 ) fica:

0 2 + y + 3 2 - 9 = 0

y + 3 2 = 9

y + 3 = ± 3

y = 0     o u     y = - 6

Opa! Achamos mais 2 pontos: P 5 = ( 0,0 ) e P 6 = ( 0 , - 6 ) .

Passo 10

Show, estamos quase acabando!

Como os pontos críticos de f P 1 e P 2 que achamos na letra (a) não estão sobre o círculo, vamos ter apenas 4 candidatos a ponto de máximo e mínimo de f sobre o tal círculo. São os pontos:

P 3 = ( 3 , - 3 )

P 4 = ( - 3 , - 3 )

P 5 = ( 0,0 )

P 6 = ( 0 , - 6 )

Saca só como eles ficam na figura:

Beleza, então agora só resta calcular o valor da função em cada ponto e ver qual vai ser o máximo e qual o mínimo! Dá uma olhada nessa tabela:

Portanto, P 3 e P 4 são os pontos de máximo, enquanto P 6 é o ponto de mínimo!

Passo 11

(c)

Bem, agora queremos os pontos de mínimo e máximo de f sobre o disco x 2 + y + 3 2 9 .

Opa! É a mesma equação do círculo, só trocando, o “ = ” pelo “ ”. Ou seja, o disco D vai ser assim:

Repare que o ponto P 1 não está no disco, então nossos candidatos a ponto de máximo e mínimo são os outros pontos: P 2 ,   P 3 ,   P 4 ,   P 5 e P 6 . Ou seja, são os mesmos candidatos que pro círculo, mais o ponto P 2 !

O valor máximo era 27, em P 3 e P 4 , e o valor mínimo era -18, em P 6 .

E f P 2 = f 0 , - 3 = - 27 3 - 9 . - 3 + 0 = - 9 + 27 = 18

Ou seja:

f P 6 = - 18 < f P 2 < 27 = f P 3 = f ( P 4 )

Então vamos ter exatamente o mesmo resultado da letra (b): os pontos de máximo são P 3 e P 4 , com o valor máximo 27, e o ponto de mínimo é P 6 , com o valor mínimo -18.

Resposta

(a)

Os pontos críticos são 0,3 (mínimo local) e ( 0 , - 3 ) (ponto de sela).

(b) e (c)

Pontos de máximo: ( 3 , - 3 ) e ( - 3 , - 3 ) , com valor máximo 27 .

Ponto de mínimo: ( 0 , - 6 ) , com valor mínimo - 18 .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas