Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

As dimensões da caixa retangular (com tampa) de volume máximo cuja área total de sua superfície é 384 c m 2 são:

  1. 4   c m ,   4   c m ,   8   c m
  2. 7   c m ,   8   c m ,   8   c m
  3. 8   c m ,   8   c m ,   8   c m
  4. 4   c m ,   8 c m ,   12   c m
  5. 6   c m ,   8   c m ,   8   c m

Passo 1

Ele quer um volume máximo e dá uma restrição: a área total. Sempre que a gente quer maximar um valor dentro de uma restrição a gente usa Lagrange.

Ok, mas qual função a gente quer maximar? Não é o volume? Então queremos maximar:

V = x y z

Onde x , y , z são os lados da caixa. Show?

E quem é a nossa restrição? A área total da superfície com tampa. Temos dois lados de x y de área, dois de y z e dois de x z . Logo:

A T = 2 x y + 2 y z + 2 z x = 384

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Passo 2

Usar Lagrange é fazer isso:

∇ V x , y , z = λ ∇ g x , y , z

Quem é g ?

A T = 2 x y + 2 y z + 2 z x = 384

g x , y , z = 2 x y + 2 y z + 2 z x - 384 = 0

Vamos calcular esses gradientes então:

∇ V x , y , z = y z , x z , x y

∇ g x , y , z = ( 2 y + 2 z ,   2 x + 2 z ,   2 y + 2 x )

Passo 3

Substituindo o que a gente achou em:

∇ V x , y , z = λ ∇ g x , y , z

y z , x z , x y = λ 2 y + 2 z ,   2 x + 2 z ,   2 y + 2 x

Ficamos com um sistema para achar x , y , z que maximiza V . Colocamos as equações que encontramos igualando cada componente e a equação da restrição no sistema:

y z = λ ( 2 y + 2 z ) x z = λ 2 x + 2 z x y = λ ( 2 y + 2 x ) 2 x y + 2 y z + 2 z x = 384

Passo 4

Normalmente quando a gente cai num sistema cheio de produtos parecidos com 3 variáveis, a gente pode pensar em multiplicar cada uma das 3 primeiras equações por diferentes variáveis. E qual é o nosso objetivo? É fazer aparecer um termo comum entre elas.

No nosso sistema, a gente pode multiplicar a primeira equação por x , a segunda por y e a terceira por z . Olha no que dá:

x y z = λ ( 2 y x + 2 z x ) y x z = λ 2 x y + 2 y z z x y = λ ( 2 y z + 2 x z ) 2 x y + 2 y z + 2 z x = 384

Agora todas as 3 primeiras equações tem o termo x y z em comum. Então a gente pode fazer:

λ 2 y x + 2 z x = λ 2 x y + 2 y z = λ ( 2 y z + 2 x z )

Passo 5

Analisando essas igualdades separadamente:

λ 2 y x + 2 z x = λ 2 x y + 2 y z

y x + z x = x y + y z

z x = y z

Como z   é uma dimensão, ele precisa ser maior que zero, então podemos dizer que:

x = y

Pela outra igualdade:

λ 2 x y + 2 y z = λ 2 y z + 2 x z

2 x y = 2 x z ∴ y = z

Com isso a gente tem que x = y = z .

Com isso a gente já sabe que a alternativa c é a certa, mas substituindo na restrição a gente fica com:

2 x y + 2 y z + 2 z x = 384

2 x 2 + 2 x 2 + 2 x 2 = 384

6 x 2 = 384 ∴ x = 8   c m = y = z

Resposta

Letra c

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