Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

UNICAMP, Cálculo 2, P1 - 2014.2 - 5ª Vespertino, Questão 5

Encontre os pontos da elipse x 2 + x y + y 2 = 3 mais próximos e mais distantes da origem.

Passo 1

Vamos lá, primeiro interpretemos o que a questão pede. Temos que descobrir quais pontos estão mais perto e mais longe da origem. Ou seja, existe uma “função distância” que deve ser maximizada e minimizada. Mas existe algo restringindo essa nossa função, que é a equação a elipse, dada no enunciado.

Então esse é se resume a um típico problema de LaGrange, que tem uma função que será maximizada ou minimizada, e outra que restringe essa tal função –o que realmente faz sentido, por que se não existisse essa restrição, o ponto mais longe da origem seria qualquer um no infinito, e o mais perto estaria tendendo à origem!

Dito isso, vamos definir nossa função distância, por que sem ela, não maximizamos nada! Veja só, todos os pontos no R 2 são definidos por componentes retangulares em relação ao eixo x e ao eixo y . Assim, a distância entre um ponto e a origem sempre pode ser obtida por Pitágoras, dizendo que essa distância R ao quadrado é igual a uma componente ao quadrado mais a outra ao quadrado:

R 2 = x 2 + y 2

Pois sempre podemos formar triângulos retângulos com as componentes do ponto e o segmento R . Assim,

R = x 2 + y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora que temos essa função, vamos montar a relação de LaGrange:

R x , y = λ E x , y

Em que E x , y = x 2 + x y + y 2 - 3 , a equação da elipse.

Passo 3

Precisamos, então encontrar as derivadas parciais da elipse e da função distância, para formar seus vetores gradiente.

Derivando R x , y em relação a x teremos:

R = x 2 + y 2

R x = 2 x 2 x 2 + y 2 = x x 2 + y 2

Derivando R x , y em relação a y teremos:

R y = 2 y 2 x 2 + y 2 = y x 2 + y 2

E o vetor gradiente é:

R x , y = x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2

Passo 4

Agora vamos encontrar as derivadas parciais da elipse.

Derivando E x , y em relação a x , temos:

E x , y = x 2 + x y + y 2 - 3

E x x , y = 2 x + y

Derivando E x , y em relação a y , temos:

E x , y = x + 2 y

E o vetor gradiente fica:

E x , y = 2 x + y , x + 2 y

Passo 5

Agora que temos os vetores gradientes, podemos montar o sistema:

x x 2 + y 2 = λ 2 x + y y x 2 + y 2 = λ x + 2 y x 2 + x y + y 2 - 3 = 0

Como o lado esquerdo das duas primeiras equações é praticamente igual, só muda o numerador, e é um ótimo negocio eliminarmos o λ , pra ter duas equações com duas incógnitas, então vamos multiplicar a primeira equação por y λ e a segunda por x λ . Dessa forma, teremos os dois lados esquerdos iguais e cancelaremos o λ ! Olha só:

x x 2 + y 2 . y λ = λ 2 x + y . y λ y x 2 + y 2 . x λ = λ x + 2 y . x λ x 2 + x y + y 2 - 3 = 0

x y λ x 2 + y 2 = y 2 x + y y x 2 + y 2 . x λ = x x + 2 y x 2 + x y + y 2 - 3 = 0

Passo 6

Partiu agora resolver esse sistema! Como temos o mesmo lado esquerdo para as duas primeiras equações, podemos igualar os lados direitos:

y 2 x + y = x x + 2 y

Desenvolvendo melhor,

2 x y + y 2 = x 2 + 2 x y

Cortando esse 2 x y ,

x 2 = y 2

E aí está! Encontramos a relação que precisávamos. Cuidado agora, somente, pois x e y estão ao quadrado. Isso quer dizer que o módulo deles é o mesmo, mas não que sejam necessariamente iguais. Assim,

x = y

ou

x = - y

Passo 7

Colocamos essas duas opções na terceira equação, que vai fornecer realmente os valores para as variáveis. Colocando x = y , teremos:

x 2 + x . x + x 2 - 3 = 0

x 2 + x . x + x 2 - 3 = 0

3 x 2 = 3

x 2 = 1

x = ± 1

Como optamos por x = y , então temos dois pontos, P 0 = 1,1 e P 1 = - 1 , - 1

Passo 8

Agora vamos colocar a relação x = - y , ou melhor y = - x :

x 2 + x . - x + - x 2 - 3 = 0

x 2 + x . - x + - x 2 - 3 = 0

x 2 = 3

x = ± 3

E como escolhemos a relação y = - x ,   os pontos são P 2 = 3 , - 3 e P 3 - 3 ,   3

Passo 9

Show! Agora que temos os nossos pontos, só jogar na equação da distância:

R = x 2 + y 2

Como x e y estão ao quadrado, tanto faz os sinais de + ou - .

Para os pontos P 0 e P 1 , temos:

R = ± 1 2 + ± 1 2 = 2

E para os pontos P 0 e P 1 , temos:

R = ± 3 2 + ± 3 2 = 6

E chegamos ao final de mais uma questão :D como o valor encontrado para os dois primeiros pontos é menor que para os dois últimos, temos que os primeiros são os pontos mais perto da origem e os últimos são os mais distantes.

Resposta

1,1 e - 1 , - 1 são os pontos mais perto da origem e 3 , - 3   e - 3 , 3 são os mais distantes.

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas