Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

UFPE, Calculo 2, 2º EE - 2019.1, Questão Q3

Uma placa circular plana tem o formato da região x 2 + y 2 4 . A placa (incluindo a fronteira x 2 + y 2 = 4 ) é aquecida de modo que a temperatura em um ponto ( x , y ) da placa é dada por T x , y = x 2 + y 2 - 2 x . Determine as temperaturas no ponto mais quente e no ponto mais frio sobre a placa, incluindo a fronteira x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

O enunciado dá para gente uma função que rege a temperatura dentro de uma placa e pede o maior valor de temperatura (ponto mais quente) e o menor valor (ponto mais frio). Isso é a mesma coisa que pedir o máximo e o mínimo de T ( x , y ) dentro da região fechada x 2 + y 2 4 .

E para achar esses valores, a gente precisa avaliar a função dentro da região, achando os pontos críticos dentro dela. E precisa avaliar também a função na fronteira x 2 + y 2 = 4 .

Com isso a gente vai achar uma série de candidatos e vai testar na função para saber quem é o máximo e o mínimo global.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nossa função que queremos os valores máximo e mínimo é:

T x , y = x 2 + y 2 - 2 x

A primeira coisa a fazer é achar os pontos críticos dessa função e ver se eles estão dentro da nossa região fechada. Vamos ver em que pontos as derivadas parciais zeram ao mesmo tempo.

T x = 2 x - 2 = 0

T y = 2 y = 0

O único ponto que satisfaz essas duas equações é ( 1,0 ) .

Passo 3

Verificando se esse ponto está dentro da região fechada:

( 1,0 )

x 2 + y 2 4 1 2 + 0 2 = 1 4

Logo o ponto está dentro da região e vai ser nosso primeiro candidato a máximo ou mínimo. Vamos guardar ele para o final.

Passo 4

Precisamos avaliar a função na fronteira. Vamos fazer de duas formas diferentes. Aí você decide a que é melhor para você. A primeira é usar os multiplicadores de Lagrange.

Nossa restrição é: x 2 + y 2 = 4

Então podemos fazer:

g x , y = x 2 + y 2 - 4

Usando os multiplicadores, a gente fica com:

T x , y = λ g x , y

2 x - 2 ,   2 y = λ 2 x ,   2 y

Passo 5

Isso vai resultar num sistema. Lembrando que a gente também coloca a restrição no sistema, ele fica assim:

2 x - 2 = λ   2 x 2 y = λ   2 y x 2 + y 2 = 4

Da segunda equação a gente tem dois casos y = 0 ou λ = 1 .

No caso de λ = 1 , a primeira equação fica sem solução, porque faz uma relação de igualdade entre coisas diferentes.

No caso de y = 0 , temos da equação da restrição:

x 2 + 0 = 4 x = ± 2

O que dá para gente os pontos ( 2,0 ) e ( - 2,0 ) . Vamos guardar eles também.

Passo 6

A segunda forma de achar esses pontos é parametrizando a restrição x 2 + y 2 = 4 . Isso é uma circunferência de raio 2 e centro em ( 0,0 ) . Fica desse jeitinho:

x = 2 cos t

y = 2 sen t

t [ 0,2 π ]

Passo 7

Para que a gente fez isso? Pensa comigo: isso é outra forma de escrever a nossa fronteira. Se a gente jogar esses valores de x e y dentro de T ( x , y ) , a gente vai poder avaliar os valores que T assume dentro dessa curva.

Fica assim:

T x , y = x 2 + y 2 - 2 x

Substituindo as componentes da parametrização da restrição:

T t = 4 cos 2 t + 4 sen 2 t - 4 cos t = 4 cos 2 t + sen 2 t - 4 cos t   = 4 - 4 cos t

Essa é a expressão da nossa função dentro da circunferência. A gente quer saber os valores máximo e mínimo que ela pode atingir. Se a gente achar a imagem dessa função, nós achamos o limitante superior e o inferior para os valores que ela assume. Repara que:

- 1 cos t   1

Multiplicando tudo por 4, depois por - 1

- 4 4 cos t 4

4 - 4 cos t - 4

Agora somando 4 :

8 4 - 4 cos t 0

Essa expressão do meio é nossa T ( t ) . Logo ela está entre 0 e 8 .

Olhando para T ( t ) , e fazendo umas continhas, vemos que T 0 = T 2 π = 0 e T π = 8 .

Substituindo t = 0 ,   t = 2 π ,   t = π na nossa parametrização, achamos também os pontos:

2,0 , ( - 2,0 )

Passo 8

Com a nossa listinha de pontos, agora a gente pode testar cada um em T ( x , y ) e ver quem resulta no maior valor e quem resulta no menor.

Nossos pontos são:

1,0 ,   2,0 , - 2,0

Testando na função:

T 1,0 = 1 2 + 0 - 2 1 = - 1

T 2,0 = 2 2 + 0 - 2 2 = 0

T - 2,0 = - 2 2 + 0 - 2 - 2 = 8

Logo o ponto de mínimo é o ponto ( 1,0 ) e a temperatura nele é - 1 . E o ponto de máximo é ( - 2,0 ) e a temperatura dele é 8 .

Resposta

Temperatura Mínima: - 1

Temperatura Máxima: 8

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas