Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

UFRJ, Cálculo 2, P2 - 2018.2, Questão E2

Se P = ( a , b , c ) é um ponto na esfera de raio r

x 2 + y 2 + z 2 = r 2

Que maximiza a função

f x , y , z = x + z

Então o valor de b + a c é:

  1. r 2 2  
  2. r 2
  3. r 2
  4. r 2 2
  5. Não exite nenhum ponto P nas condições descritas acima.

Passo 1

Temos que descobrir o ponto que maximiza a função f EM CIMA da esfera, ou sejeee, temos que usar multiplicador de lagrange com uma restrição.

Bora lá?!

Nossa função é

f x , y , z = x + z

Seu gradiente é

f = ( 1,0 , 1 )

A restrição é

x 2 + y 2 + z 2 = r 2

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - r 2 = 0

Seu gradiente é

g = ( 2 x , 2 y , 2 z )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Perfeito, agora, só precisamos dizer que os gradientes são paralelos! Isso significa que:

( 1,0 , 1 ) = λ 2 x , 2 y , 2 z

Igualando cada coordenada e acrescentado a equação da restrição, teremos:

1 = λ . 2 x 0 = λ . 2 y 1 = λ . 2 z x 2 + y 2 + z 2 = r 2  

E temos esse sisteminha aí pra resolver.

Passo 3

Da segunda equação, a gente já tira de cara que

y = 0

Ou

λ = 0

Mas, se λ = 0 , a primeira e a terceira equação seriam impossíveis, pois ficariam 1 = 0 .

Assim, vamos ficar apenas com o resultado de y = 0 .

Passo 4

Agora vamos igualar a primeira e a terceira equação:

λ . 2 x = λ . 2 z

x = z

Temos então que

x = z

E

y = 0

Substituindo tudo isso na equação da restrição:

x 2 + y 2 + z 2 = r 2

x 2 + 0 2 + x 2 = r 2

2 x 2 = r 2

x = r 2 2

Assim, como x = z , temos o ponto

P = a , b , c = r 2 2 , 0 , r 2 2

Que é o ponto que maximiza nossa função em cima da esfera.

Passo 5

Mas a questão pediu pra gente o valor de b + a c , então:

b + a c = 0 + r 2 2 r 2 2 = r 2 2

Resposta

Letra d

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