Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G3 - 2015.1, Questão 1

Seja f x , y = - y e - x + y 2 2 + y .

a) Exiba a matriz hessiana de f no ponto 0,1 e a aproximação quadrática de f neste ponto.

b) Encontre um aberto U R 2 tal que a matriz hessiana de f em todo ponto x , y U seja estritamente positiva definida. Desenhe o aberto U e, ao lado, sua fronteira.

c) Encontre um aberto W R 2 tal que a matriz hessiana de f em todo ponto x , y W seja indefinida.

d) Classifique os pontos críticos de f .

e) Calcule o valor de máximo de f restrita à curva

C = x , y R 2 : 2 x + 2 y = 1 ,   - 1 2 x 1 2

Dica: Considere que 1 8 > - e 1 2 + 3 2

Passo 1

a) Nossa função é

f x , y = - y e - x + y 2 2 + y

Para encontrar a sua hessiana, basta encontrar as segundas derivadas no ponto pedido e colocar na matriz!

Derivando em relação a x , temos:

f x x , y = - y e - x . - 1 = y e - x

Derivando novamente em relação a x teremos:

f x x x , y = - y e - x

Show? Agora, façamos o mesmo para as derivadas em relação a y :D

f y x , y = - e - x + y + 1

Derivando em relação a y novamente,

f x , y = 1

Beleza? Agora basta encontrarmos as derivadas mistas! Pegando a derivada f x e derivando em relação a y , teremos:

f x y = e - x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora podemos montar a matriz!

Ela é

H f P 0 = f x x f x y f x y f y y

Colocando as derivadas, fica:

H f P 0 = - y e - x e - x e - x 1

Colocando no ponto 0,1 ,

H f 0,1 = - 1 e - 0 e - 0 e - 0 1

H f 0,1 = - 1 1 1 1

Passo 3

A aproximação quadrática Q x , y , z no ponto 0,1 vai ser

Q x , y = f 0,1 + f 0,1 x , y - 0,1 + 1 2 x y - 0 1 H f 0,1 x y - 0 1

Temos quase tudo da fórmula, menos f 0,1 e f 0,1

f 0,1 = - 1 e - 0 + 1 2 2 + 1 = - 1 + 1 2 + 1 = 1 2

Já achamos as derivadas para o gradiente, elas são

f x x , y = - y e - x . - 1 = y e - x

f y x , y = - e - x + y + 1

Então

f x 0,1 = 1 e - 0 = 1

f y 0,1 = - e - 0 + 1 + 1 = - 1 + 2 = 1

Isso nos diz que

f 0,1 = 1,1

Q x , y = 1 2 + 1,1 x , y - 1 + 1 2 x y - 1 - 1 1 1 1 x y - 1

Q x , y = 1 2 + x + y - 1 + 1 2 - x + y - 1 x + y - 1 x y - 1

Q x , y = - 1 2 + x + y + 1 2 - x 2 + x y - 1 + x y - 1 + y - 1 2

Q x , y = - 1 2 + x + y - x 2 2 + x y - 1 + y - 1 2 2

Passo 4

b) Uma hessiana é estritamente positiva definida se, e somente se:

  • Seu determinante é positivo
  • f x x é positiva

Vamos dar uma olhada no determinante?

H P 0 = - y e - x e - x e - x 1 = - y e - x - e - 2 x

Como ele deve ser maior que 0 , temos:

- y e - x - e - 2 x > 0

Show? E para o segundo ponto, temos:

f x x > 0

- y e - x > 0

Passo 5

Agora, vamos resolver o sistema com essas duas inequações:

- y e - x > 0 - y e - x - e - 2 x > 0

Vejamos... a primeira tem o termo e - x , que nunca é negativo, certo? Logo, já que esse termo não vai mudar o sinal da expressão, podemos dizer que:

- y > 0

y < 0

Show? Acabamos de ver que y deve ser menor que 0 !

Passo 6

Vamos olhar para a segunda inequação agora? Ela é:

- y e - x - e - 2 x > 0

Podemos colocar o e - x em evidência, o que fornece:

e - x - y - e - x > 0

Novamente, o termo e - x não muda em nada o sinal da inequação, pois é sempre positivo e está multiplicando o termo entre parêntesis ;) Podemos dizer, então, que:

- y - e - x > 0

Passando o y para o lado direito, temos:

y < - e - x

E perceba que essa inequação é compatível com o y < 0 que havíamos encontrado! Ela ainda fornece a relação entre x e y que faz com que a hessiana seja estritamente positiva definida!

Podemos dizer que o aberto U , então, é:

U = x , y R 2 : y < - e - x  

Passo 7

Vamos ver, agora, que região é essa que encontramos? O que acha de começarmos pelo seu contorno, ou seja, colocando um sinal de igual na inequação? Fica:

y = - e - x

Podemos escrever essa equação como:

y = - 1 e x

Já deu pra ver que essa é uma curva exponencial... Vemos, também, que a medida que x cresce, os valores de y tendem a 0 , e, quando x = 0 , y = - 1 1 = - 1 . E, ainda, a medida que x tente ao infinito negativo, o termo 1 e x tende ao infinito positivo, que, com o sinal de na frente, vai para o infinito negativo também!

Juntando essas informações, temos que a curva se parece com:

Como a inequação era y < e - x , então estamos na região “menor que” a curva, ou seja, em baixo dela!

Passo 8

c) Para a hessiana ser estritamente indefinida, seu determinante deve ser menor que 0 , ou seja,

- y e - x - e - 2 x < 0

Pelo mesmo mecanismo que do passo anterior, podemos colocar e - x em evidência, que dá:

e - x - y - e - x < 0

Como o termo e - x não interfere em nada no sinal, temos:

- y - e - e x < 0

Passando o y para o lado direito, teremos:

y > - e - x

E aí está a região definida pelo nosso aberto W ! Ele pode ser escrito formalmente como:

W = x , y R 2 : y > - e - x

Passo 9

d) Vamo que vamo! Agora é classificar pontos críticos... Do passo 1 , temos que as derivadas parciais são:

f x x , y = y e - x

f y x , y = - e - x + y + 1

Logo, os pontos críticos são aqueles que resolvem o sistema:

y e - x = 0 - e - x + y + 1 = 0

Pela primeira equação já vemos que, como o e - x não se anula, então precisamos de y = 0 .

Olhando agora, para a segunda, colocando o y = 0 , teremos:

- e - x + 0 + 1 = 0

e - x = 1

Para que isso ocorra, então x = 0 , também! Assim, o único ponto crítico é 0,0 , show?

Passo 10

Agora que temos o ponto, podemos jogar na expressão do determinante, que é:

- y e - x - e - 2 x

Colocando 0,0 , nela, teremos:

- 0 . e - 0 - e - 2.0 = - 1

Como - 1 < 0 , então temos que 0,0 é um ponto de sela! Ponto encontrado e classificado, letra d detonada!

Passo 11

e) Vamos lá, última letra, aguente firme! Essa aqui é uma clássica de LaGrange, pois temos que encontrar o máximo/mínimo de uma função restrita a uma curva dada! Neste caso, a equação da nossa curva é:

2 x + 2 y = 1

A variação em x entre - 1 2 e 1 2 não importa agora pois só restringe o pedaço da curva que estamos tratando. Vamos encontrar os pontos e ver quais estão dentro dessa restrição de x ;)

Sem mais enrolação, vamos montar o sistema com a equação do multiplicador e da restrição?

f x , y = λ g x , y 2 x + 2 y = 1

Passo 12

Agora, precisamos, para resolver esse sistema, encontrar os vetores gradientes de f e g .

O de f já sabemos, é só juntas as primeiras derivadas no vetor:

f x , y = y e - x , - e - x + y + 1

Agora, para descobrir o vetor gradiente de g , precisamos derivar a função. Temos:

g x , y = 2 x + 2 y - 1

g x x , y = 2

g y x , y = 2

E, assim, o vetor fica:

g x , y = 2,2

Passo 13

Agora que temos os vetores, podemos voltar no sistema:

y e - x , - e - x + y + 1 = λ 2,2 2 x + 2 y = 1

E, igualando as coordenadas, fica:

y e - x = 2 λ - e - x + y + 1 = 2 λ 2 x + 2 y = 1

Como as duas primeiras equações estão igualadas ao 2 λ , podemos dizer que:

y e - x = - e - x + y + 1

Passando o - e - x para o lado esquerdo, teremos:

y e - x + e - x = y + 1

Colocando o e - x em evidência, fica:

e - x y + 1 = y + 1

E, dessa equação, vemos que, ou x = 0 , para que e - x seja 1 , ou y = - 1 , para que se anulem os dois lados :D

Ok, temos as duas possíveis soluções do sistema...

Passo 14

Vamos verificar se elas são verdadeiras? Se colocarmos y = - 1 na equação da restrição, teremos:

2 x + 2 . - 1 = 1

x = 3 2

Opa! x = 3 2 não é uma opção de resposta! Lembra que x está entre - 1 2 e 1 2 , pela definição da nossa curva? Daí já vemos que y = - 1 não satisfaz nosso problema!

Passo 15

Vamos ver agora o que eu acontece colocando x = 0 na restrição?

2.0 + 2 . y = 1

y = 1 2

Show! Acabamos de encontrar o ponto 0 , 1 2 como solução para o sistema! Vamos ver quando vale a função neste ponto?

f x , y = - y e - x + y 2 2 + y

f 0 , 1 2 = - 1 2 e - 0 + 1 2 2 2 + 1 2 = 1 8

E agora, como fazer para saber se é máximo ou mínimo?

Passo 16

A nossa curva é limitada! Isso significa que não basta ver os pontos críticos sobre ela, apenas, como acabamos de fazer! Temos que verificar o valor da função também para os seus pontos máximos e mínimos!

Eles ocorrem quando x = - 1 2 e quando x = 1 2 , ou seja, nos limites definidos para x pelo enunciado ;)

Quando x = - 1 2 , temos o y igual a:

2 x + 2 y = 1

2 . - 1 2 + 2 y = 1

y = 1

E o ponto a ser avaliado é - 1 2 , 1 . Seu valor em f x , y é:

f - 1 2 , 1 = - 1 e 1 2 + 1 2 2 + 1

= - e 1 2 + 3 2

E, como o enunciado disse, 1 8 > - e 1 2 + 3 2 , logo, até f 0 , 1 2 = 1 8 é ponto de máximo!

Passo 17

Quando x = 1 2 na curva, temos:

2 . 1 2 + 2 y = 1  

y = 0

E o ponto a ser avaliado é 1 2 ,   0 . Colocando-o em f x , y , teremos:

f 1 2 ,   0 = - 0 e - 1 2 + 0 2 2 + 0 = 0

Logo, f 0 , 1 2 é realmente o ponto de máximo e vale 1 8 !

Resposta

a)

b) U = x , y R 2 : y < - e - x  

Região:

c) W = x , y R 2 : y > - e - x

d) O único ponto crítico é um ponto de sela, 0,0 .

e) O valor máximo ocorre em f 0 , 1 2 = 1 8

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