Exercícios Resolvidos de Esboço de Curvas

USP, Cálculo 2, P1 - 2013, Questão 3b

Esboce a imagem da seguinte curva plana:

γ t = tan t , 3 sec t ,   t π 2   , 3 π 2

Passo 1

Para encontrar a imagem dessa curva, a menos que você queira ficar marcando ponto para esboçar (só que não), devemos encontrar a equação cartesiana.

Como

γ t = tan t , 3 sec t

Então

x t = tan t y t = 3 sec t

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Passo 2

Agora, como fazemos para encontrar uma relação entre x e y ?

Bom, como temos tangente e secante, nada mais intuitivo que pensar primeiro em alguma equação que relacione essas duas funções!

Temos que:

sec 2 t = 1 + tan 2 t

Como x t = tan t e sec t = y t 3 , podemos escrever:

y t 3 2 = 1 + x t 2

y t 2 9 - x t 2 = 1

Passo 3

Essa é a equação de uma hipérbole! Lembra como fazemos para esboçar uma?

Os vértices estão sobre ± a raiz quadrada do denominador da variável que tem o + , e a “boca” aponta para a variável com o + .

No nosso caso, temos a boca apontando para no sentido do eixo y e os vértices em 0 , ± 3 . Teremos algo assim:

Passo 4

Mas temos que tomar cuidado com uma coisa! A função é restrita! Ele disse que t varia entre π 2 e 3 π 2 .

Nesse intervalo, temos a tangente variando entre - (a partir de valores pouco maiores que π 2 ) e + (que é atingido quando t se aproxima de 3 π 2 ). Além disso, a secante, que é 1 cos t , varia entre - até - 1 , quando se aproxima de π (e o 3 sec t passa a valer - 3 ).

Assim, o gráfico se restringe à parte de baixo da hipérbole, pois a parte do y = 3 sec t não atinge valores maiores que - 3 . Ficando então:

Resposta

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