Em cada caso identifique e represente graficamente o domínio da função z = f ( x , y ) .

( i ) a r c s e n [ x / ( x - y ) ] ( j ) z = 4 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 - 1

Passo 1

Oiie, tudo bem?

O enunciado nos dá duas funções, sendo elas

( i ) a r c s e n [ x / ( x - y ) ] ( j ) z = 4 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 - 1

e, precisamos determinar o domínio destas funções! Isso significa, analisar as funções para obter limitações nos valores de ( x , y ) , o caminho costuma sempre ser analisar expressões algébricas que surgem devido a restrições dadas pelo formato da função! Vamos começar com a primeira alternativa! Vem comigo!

Passo 2

Temos que determinar o domínio da função

z = a r c s e n ( x x - y )

O argumento do arcosseno deve estar delimitado entre [ - 1 , + 1 ] , portanto, temos que

- 1 ≤ x x - y ≤ 1

Multiplicando toda a desigualdade por x - y , temos

- ( x - y ) ≤ x ≤ x - y

Isso nos dá duas retas

x ≥ - x + y e x ≤ x - y

que podem ser simplificadas como

  y ≤ 2 x e y ≤ 0

Ou seja, o domínio é tal que

ⅅ = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 | y ≤ 2 x   e   y ≤ 0 }

Vamos fazer a outra agora! Bora lá!

Passo 3

Temos a função

z = 4 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 - 1

Não podemos ter valores negativos dentro da raiz para mantermos nosso domínio real! Portanto, temos duas limitações

4 - x 2 - y 2 ≥ 0

e, para a outra raiz temos

x 2 + y 2 - 1 > 0

note que essa não tem a igualdade em zero, pois não queremos uma divisão por zero! Ou seja, nosso domínio é dado pelas duas circunferências, temos que

x 2 + y 2 ≤ 4 e x 2 + y 2 > 1

ou seja, o domínio é dado por

ⅅ = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 | 1 < x 2 + y 2 ≤ 4 }

No plano, temos a seguinte representação

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

( i ) ⅅ = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 | y ≤ 2 x   e   y ≤ 0 } ( j )   ⅅ = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 | 1 < x 2 + y 2 ≤ 4 }

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Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1