Encontre o domínio e a imagem da função f e trace um esboço mostrando uma região sombreada em R 2 , como um conjunto de pontos no domínio de f .

a )   f x , y = 25 - x 2 - y 2 x

Passo 1

Fala aí gente, tudo na paz?

Nessa questão estamos trabalhando com as queridíssimas funções de duas variáveis.

Recebemos a função:

f x , y = 25 - x 2 - y 2 x

E, precisamos calcular o seu domínio e a sua imagem.

Vocês lembram o que é o domínio e o que é a imagem?

É legal pensar numa analogia da função como sendo uma liquidificador. O domínio é o conjunto de todos os ingredientes que você pode colocar dentro do liquidificador (não dá pra colocar tudo, algumas coisas quebraria o aparelho, certo?).

Já a imagem é o que o liquidificador produz após bater todos aqueles ingredientes, sacaram?

Então, nossa ideia é primeiro verificar as possíveis restrições na nossa lei de função f ( x , y ) para encontrar o domínio de f .

Em seguida, vemos os possíveis valores que esse domínio pode nos dar em f .

Vem com a gente que vai ficar bem claro 😊

Passo 2

Bom, vamos analisar um pouco a nossa função f :

f x , y = 25 - x 2 - y 2 x

Temos duas partes nela que são candidatas a problema. A primeira é a raiz quadrada, pois o termo dentro da raiz não pode ser negativo. Assim:

25 - x 2 - y 2 ≥ 0

∴ x 2 + y 2 ≤ 25

Isso é a equação de uma circunferência, que está centrada em ( 0,0 ) e que possui raio igual a:

R = 25 = 5

Massa! Então, o conjunto de pontos ( x , y ) que satisfazem a nossa raiz estão dentro ou na borda da circunferência citada.

Além disso, a segunda parte que é candidata a problema é que temos um denominador. E, como sabemos, não podemos nunca dividir por zero. Ou seja, o denominador precisa ser não nulo:

x ≠ 0

Daí, o nosso domínio pode ser representado da seguinte forma:

onde toda a região interna pertence ao domínio, exceto pela reta vermelha em x = 0 .

Podemos também escrever formalmente esse domínio como sendo:

D f = x , y ∈ R         x 2 + y 2 ≤ 25 ,     x ≠ 0 }

Excelente!

Passo 3

Agora vamos verificar a imagem da nossa função. Temos:

f x , y = 25 - x 2 - y 2 x

Vamos começar pensando nos valores máximos, em módulo, que a função pode atingir.

Como o denominador pode-se aproximar de 0 o tanto quanto possível, a função deve ter para o infinito.

lim x → 0 ⁡ f ( x , y ) = ± ∞

Vamos pensar agora nos valores mínimos.

Se o numerador zerar, a nossa função assumirá o menor valor possível.

Se tivermos x = y = 5 , ficamos com:

25 - x 2 - y 2 = 0

Logo, o menor valor que a função pode assumir é:

f x , y = 0

Portanto, a imagem da nossa função é:

I m f ∈ - ∞ ,   + ∞

É isso galera!

Espero que vocês tenham curtido, até a próxima 😊  

Resposta

D f = x , y ∈ R         x 2 + y 2 ≤ 25 ,     x ≠ 0 }

I m f ∈ - ∞ ,   + ∞

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Verificar que as equações vetoriais r → w = w ,w 2 ,2 ≤ w ≤ 3 e r → t = t ,t , 4 ≤ t ≤ 9 representam a mesma curva.
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:e) r → t = 2 cos ⁡ t ,3 s e n t , t ∈ 0 ,2 π
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:d) r → t = 3 cos 3 ⁡ t ,3 s e n 3 t , t ∈ π 6 , π 3
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1